陕西省渭南市蒲城县2021-2022学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | x^{2} < 4}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 命题“ $\forall x \in R ， x^{3} + s i n x \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R ， x^{3} + s i n x \geq 0$ B、 $\forall x \in R ， x^{3} + s i n x < 0$ C、 $\exists x \in R ， x^{3} + s i n x < 0$ D、 $\exists x \in R ， x^{3} + s i n x \leq 0$

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3. 已知 $t a n α = - \frac{1}{2}$ ，则 $t a n 2 α$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. 若 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a^{3} > b^{3}$ ”是“ $a > b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = \frac{x \cos x}{2^{x} + 2^{- x}}$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）
（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）

A、2020年 B、2021年 C、2022年 D、2023年

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7. 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝DC＝2，BC＝1，P是DC的中点，则 $| \vec{P A} + \vec{P B} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、9

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8. 将函数 $y = 3 s i n (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称中心的坐标是（）

A、 $(\frac{π}{24} ， 0)$ B、 $(- \frac{π}{24} ， 0)$ C、 $(\frac{π}{12} ， 0)$ D、 $(- \frac{π}{12} ， 0)$

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9. 设函数 $f (x) = 2 c o s (2 ω x + \frac{π}{12}) (ω > 0)$ ，若对于任意的实数x， $f (x) \geq f (\frac{π}{3})$ 恒成立，则ω的最小值等于（）

A、0 B、1 C、 $\frac{11}{24}$ D、 $\frac{11}{8}$

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10. 魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为 $\frac{355}{113}$ ，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则 $\frac{1 - 2 c o s^{2} 7 °}{π \sqrt{16 - π^{2}}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $- \frac{1}{8}$ C、8 D、﹣8

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11. 已知 $2^{a} + a = l o g_{2} b + b = l o g_{3} c + c$ ，则下列关系不可能成立的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b = c$ D、 $c < b < a$

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12. 设 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数， $f (- 3) = 0$ . 当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) + 2 f (x) > 0$ ，其中 $f^{^{'}} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则使得 $f (x) > 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 3) ∪ (0 ， 3)$ B、 $(- 3 ， 0) ∪ (3 ， + \infty)$ C、 $(- 3 ， 0) ∪ (0 ， 3)$ D、 $(- \infty ， - 3) ∪ (3 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = x s i n x + c o s x$ ，则 $f^{'} (- π)$ ＝．

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14. 若非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3 | \vec{b} | = | \vec{a} + 2 \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ， \vec{b}$ 夹角的余弦值为.

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15. 已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x都有f(x+4)=-f(x)，若函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(-5)＝2，则f(2021)= ．

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16. 某校开展数学活动，甲、乙两同学合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，如图，甲站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，乙站在D点测得旗杆顶端E点的仰角为30°．已知甲、乙两同学相距（BD）6米，甲的身高（AB）1.5米，乙的身高（CD）1.75米，则旗杆的高EF为米．（结果精确到0.1，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} x - s i n^{2} x + 2 \sqrt{3} s i n x c o s x (x \in R)$ ．

(1)、求f(x)的最小正周期；

(2)、求f(x)的单调递减区间．

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18. 已知A、B、C为△ABC的三个内角，它们的对边分别为a、b、c，若 $2 a \cos A = c \cos B + b \cos C$

(1)、求A；

(2)、若a= $2 \sqrt{3}$ ，△ABC的面积S= $\sqrt{3}$ ，求b+c的值.

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19. 我国作为世界上主要的产茶国，在全球茶叶生产、消费和出口中都占据重要地位．某茶叶销售商通过上一年销售统计发现，某种品牌的茶叶每袋进价为40元，每袋茶叶的销售价格（52≤x≤57，x∈N）与日均销售量之间的函数关系如表：
销售价格（元/每袋）
57
56
55
54
53
52
日均销售量（袋）
69
72
75
78
81
84

(1)、求平均每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数解析式；

(2)、求平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/袋）之间的函数解析式；

(3)、当每袋茶叶的售价为多少元时，该茶叶销售商每天可以获得最大利润？最大利润是多少？

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20. 已知函数f(x)=lnx．

(1)、求函数 $F (x) = f (x + 1) - x$ 的单调区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - m x + \frac{m}{x}$ 存在两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，求实数m的取值范围．

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21. 已知函数f(x)＝log₂ $(\frac{1}{2^{x}} + a)$ .

(1)、若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；

(2)、若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；

(3)、若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) (x^{2} + 2) e^{x} - 2 x$ ．

(1)、求曲线y=f(x)在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、证明： $f (x) > - x^{2} - 4$ ．

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销售价格（元/每袋）	57	56	55	54	53	52
日均销售量（袋）	69	72	75	78	81	84