山东省济宁市泗水县2021-2022学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集为 $R ，$ 集合 $A = {x | {(\frac{1}{2})}^{x} \leq 1} ， B = {x | x^{2} - 6 x + 8 \leq 0}$ ，则 $A ∩ ∁_{R} B =$ （）

A、 ${x | x \leq 0}$ B、 ${x | 2 \leq x \leq 4}$ C、 ${x | 0 \leq x < 2$ 或 $x > 4}$ D、 ${x | 0 < x \leq 2$ 或 $x \geq 4}$

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2. “ $\ln a > \ln b$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知向量 $\vec{A B} = (1 ， 2) ， \vec{B D} = (2 ， - 1)$ ， $\vec{B C} = (t ， 1) ， t \in R$ ，若 $\vec{A D} / / \vec{C D} ，$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、8 B、6 C、4 D、 $\frac{4}{3}$

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4. 数列 ${\frac{2}{a_{n} + 1}}$ 是等差数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = - \frac{1}{3}$ ，那么 $a_{5} =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、5 D、-5

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5. 若 $α$ 是第三象限角， $t a n (\frac{π}{3} + α) = - \frac{3}{4}$ ，则 $c o s (\frac{π}{6} - α) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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6. 我国古代数学著作 $($ 九章算术 $》$ 有如下问题：“今有金箠，长五尺，新本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箱，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤：在细的一端截下一尺，重二斤，问依次每一尺各重几斤？“根据已知条件，若金蕃由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（）

A、6斤 B、9斤 C、10斤 D、12斤

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x}{x - 1} ， x \leq 0 \\ \frac{l n x}{x} ， x > 0 \end{array} ，$ 若 $x$ 关于的方程 $f （ x ）＝ x + a$ 无实根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $（ - \infty ， 0 ） ∪ （ \frac{1}{e} ， 1 ）$ B、 $（ - 1 ， 0 ）$ C、 $(0 ， \frac{1}{e})$ D、 $（ 0 ， 1 ）$

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8. 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形 $A B C D$ 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $E$ 为 $B F$ 的中点，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{4}{5} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{5} \vec{a} + \frac{4}{5} \vec{b}$ C、 $\frac{4}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{4}{3} \vec{b}$

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二、多选题

9. 在 $△ A B C$ 中， $| \vec{A B} | = 2 ， | \vec{A C} | = 1$ ， $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A P} ，$ 则（）

A、 $\vec{P B} \cdot \vec{P C} > 0$ B、 $\vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ C、 $\vec{P B} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ D、 $\vec{A P} \cdot \vec{B P} = - \frac{3}{4}$

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10. 正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{3} = a_{2} + 10 a_{1}$ ， $a_{4} = 3$ ．下列说法正确的是（）

A、 $a_{1} = 9$ B、 ${a_{n}}$ 是递增数列 C、 ${S_{n} + \frac{1}{18}}$ 为等比数列 D、 ${l o g_{3} a_{n}}$ 是等比数列

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11. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 $a s i n A = 4 b s i n B$ ， $a c = \sqrt{5} (a^{2} - b^{2} - c^{2})$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a = 2 b$ B、 $c o s A = \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $s i n B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $△ A B C$ 为钝角三角形

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = x ，$ 关于函数 $g (x) = | f (x) | + f (| x |)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 为偶函数 B、 $g (x)$ 在 $(1 ， 2)$ 上单调递增 C、 $g (x)$ 不是周期函数 D、 $g (x)$ 的最大值为 $2$

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三、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = t a n B$ ，则 $△ A B C$ 面积为．

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14. 已知 $a = \log_{2} 6$ ， $b = \log_{5} 15$ ， $c = 2^{- π}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为 (用“ $<$ ”连接).

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15. 2020年疫情期间，某医院30天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列 ${a_{n}}$ ，已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且满足 $a_{n + 2} - a_{n} = 1 - (- 1)^{n}$ ，则该医院30天内因患新冠肺炎就诊的人数共有.

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16. 在四面体 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $P A = 1$ ， $△ A B C$ 、 $△ P B C$ 、 $△ P A C$ 、 $△ P A B$ 均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于3，则该四面体外接球的表面积为；该四面体体积的最大值为．

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四、解答题

17. 在条件① $(a + b) (s i n A - s i n B) = (c - b) s i n C$ ， ② $a s i n B = b c o s (A + \frac{π}{6})$ ， ③ $b s i n \frac{B + C}{2} = a s i n B$ 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．
在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $b + c = 6$ ， $a = 2 \sqrt{6}$ ， ___________．求 $△ A B C$ 的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{5} = 20$ ， $a_{2} = 3$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若数列 ${b_{n}}$ 的通项公式 $b_{n} = 2^{n}$ ，将数列 ${a_{n}}$ 中与 ${b_{n}}$ 的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列 ${c_{n}}$ ，设数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2020}$ .

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $∠ B A C = 90 °$ ，且 $A B = A A_{1} = 2$ ，E，F分别是 $C C_{1}$ ， $B C$ 的中点.

（Ⅰ）若D是 $A A_{1}$ 的中点，求证： $B D / /$ 平面AEF；

（Ⅱ）线段AE（包括端点）上是否存在点M，使直线 $B_{1} M$ 与平面AEF所成的角为 $60 °$ ？若有，确定点M的位置；若没有，说明理由.

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{4} (4^{x} + 1) + k x$ 是偶函数.

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = l o g_{4} (a \cdot 2^{x} - \frac{4}{3} a)$ ，函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 只有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 某市城郊有一块大约 $500 m \times 500 m$ 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为 $S$ 平方米.

(1)、分别用 $x$ 表示 $y$ 及 $S$ 的函数关系式，并给出定义域；

(2)、请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积 $S$ 最大，并求出最大值

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{a (x - 1)}{x + 1}$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线斜率为 $\frac{1}{2}$ ，求 $a$ 的值．

(2)、若函数 $f (x)$ 存在减区间，求 $a$ 的取值范围．

(3)、求证：若 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ， $x_{1} > x_{2}$ 都有 $\frac{l n x_{1} - l n x_{2}}{x_{1} - x_{2}} \cdot (x_{1} + x_{2}) > 2$ ．

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