辽宁省沈阳市郊联体2021-2022学年高三上学期数学期中考试试卷题

试卷更新日期：2022-08-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \log_{2} x < 1}$ ，集合 $B = {y | y = \sqrt{2 - x}}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $[0 ， 2)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $[0 ， + \infty)$

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2. $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，若 $z + \bar{z} = 2 ， (z - \bar{z}) i = 2 (i$ 为虚数单位) ，则 $z$ =（）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $1 - i$

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3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，而后这些符号逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若 $a > b > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a^{2} - a > b^{2} - b$ B、 $3^{a} > {(1 0^{l g 3})}^{b}$ C、 $\frac{1}{a - 1} < \frac{1}{b - 1}$ D、 $| l n a | > | l n b |$

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4. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足： $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = 4$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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5. 数列 ${a_{n}}$ 中，“ $a_{n} = 2 a_{n - 1}$ ， $n = 2 ， 3 ， 4 ， ⋯$ ”是“ ${a_{n}}$ 是公比为2的等比数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若 $\frac{\cos 2 α}{\cos α + \sin α} = \cos (π + α)$ ，则 $\tan (\frac{π}{4} - 2 α) =$ （）

A、-7 B、7 C、 $- \frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{7}$

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7. 海洋农牧化使人类可以像经营牧场和管理牛羊一样经营海洋和管理水生生物，从而实现海洋渔业资源利用与生态环境修复兼顾.不同的海洋牧场需要不同的鱼礁，其中一种鱼礁的形状如图所示，它是由所有棱长均为2 $m$ 的四个正四棱锥水平固定在一个平面上，且上面四个顶点相连构成的几何体框架，则这个几何体框架的体积为（）(棱台体积公式： $V_{棱台} = \frac{1}{3} h (S^{'} + \sqrt{S^{'} S} + S)$ ， $S^{'}$ ， $S$ 分别为棱台的上､下底面面积， $h$ 为棱台的高)

A、 $\frac{14 \sqrt{2}}{3}$ $m^{3}$ B、 $\frac{28 \sqrt{2}}{3}$ $m^{3}$ C、 $\frac{14 \sqrt{3}}{3}$ $m^{3}$ D、 $\frac{28 \sqrt{3}}{3}$ $m^{3}$

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8. 定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (2 + x)$ ，且当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} - 1 ， 0 \leq x \leq 1 ， \\ x^{2} - 4 x + 4 ， 1 < x \leq 2. \end{array}$ 若关于x的不等式 $m | x | \leq f (x)$ 的整数解有且仅有9个，则实数m的取值范围为（）

A、 $(\frac{e - 1}{7} ， \frac{e - 1}{5}]$ B、 $[\frac{e - 1}{7} ， \frac{e - 1}{5}]$ C、 $(\frac{e - 1}{9} ， \frac{e - 1}{7}]$ D、 $[\frac{e - 1}{9} ， \frac{e - 1}{7}]$

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9. 我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载；一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）

A、相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B、春分和秋分两个节气的晷长相同 C、立春的晷长与立秋的晷长相同 D、立冬的晷长为一丈五寸

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二、多选题

10. 已知向量 $\vec{a} = (2 s i n x ， - 1)$ ， $\vec{b} = (s i n x + \sqrt{3} c o s x ， 1)$ ，且函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $f (x) = 1$ 的两根，则 $x_{1} - x_{2}$ 是 $π$ 的整数倍 B、当 $x = \frac{π}{6}$ 时， $f (x)$ 取得最大值 C、 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 是函数 $f (x)$ 的一个单调递增区间 D、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到一个偶函数图象

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11. 如图所示，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B B_{1} = B_{1} D_{1}$ ，点 $E$ 是 $C C_{1}$ 上的一个动点，若平面 $B E D_{1}$ 交棱 $A A_{1}$ 于点 $F$ ，给出下列命题：其中真命题的是（）

A、四棱锥 $B_{1} - B E D_{1} F$ 的体积恒为定值； B、存在点 $E$ ，使得 $B_{1} D ⊥$ 平面 $B D_{1} E$ C、对于棱 $C C_{1}$ 上任意一点 $E$ ，在棱 $A D$ 上均有相应的点 $G$ ，使得 $C G / /$ 平面 $E B D_{1}$ D、存在唯一的点 $E$ ，使得截面四边形 $B E D_{1} F$ 的周长取得最小值．

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12. 已知函数f(x)= ${\begin{array}{l} x e^{x} ， x < 1 \\ \frac{e^{x}}{x^{3}} ， x \geq 1 \end{array}$ ，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是（）

A、点（0，0）是函数f（x）的零点 B、 $\exists x_{1} \in (0 ， 1) ， x_{2}$ ∈（1，3），使f（ $x_{1}$ ）>f（ $x_{2}$ ） C、函数f（x）的值域为[ $- e^{- 1} ， + \infty)$ D、若关于x的方程[g（x）]²－2ag（x）=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ $\frac{2}{e^{2}} ， \frac{e^{2}}{8}]$ ∪（ $\frac{e}{2} ， + \infty$ ）

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三、填空题

13. 在锐角三角形 $A B C$ ， $∠ A = 60 °$ 则 $s i n B + s i n C$ 的取值范围是．

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14. 已知函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 4 l n x$ 在 $(t ， t + 2)$ 在上不单调，则实数 $t$ 的取值范围是．

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15. 如图， $△ A B C$ 中点 $D ， E$ 是线段 $B C$ 上两个动点，且 $\vec{A D} + \vec{A E} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $\frac{x + 9 y}{x y}$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，且对于任意的实数 $x$ 都有 $f (f (x) - e^{x} - x) = e^{- 2} - 4$ 成立，若 $y = f (x) - 4$ 的零点所在的区间是 $(n ， n + 1)$ ，则整数 $n$ 的值为．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知向量 $\vec{m} = (c o s A ， c o s B)$ ， $\vec{n} = (a ， 2 c - b)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 4 ， b = \frac{4}{3} \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积．

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18. 如图甲，直角梯形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A D / / B C$ ， $F$ 为 $A D$ 中点， $E$ 在 $B C$ 上，且 $E F / / A B$ ，已知 $A B = A D = C E = 2$ ，现沿 $E F$ 把四边形 $C D F E$ 折起（如图乙），使平面 $C D F E ⊥$ 平面 $A B E F$ .

(1)、求证： $A D / /$ 平面 $B C E$ ；

(2)、求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C E$ .

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = a_{n} + 2^{n}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = l o g_{2} a_{n} ， T_{n} = \frac{1}{b_{1} b_{2}} + \frac{1}{b_{2} b_{3}} + ⋯ + \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求 $T_{n}$ .

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20. 四面体的一条棱长是 $x$ ，其余棱长都是 $1$ ．考虑满足题意四面体如图所示：取 $B C = x$ ，其余棱长为1.

(1)、把四面体的体积 $V$ 表示成 $x$ 的函数 $f (x)$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的值域和单调区间．

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21. 数列可以看作是定义在正整数集的特殊函数，具有函数的性质特征，有些周期性的数列和三角函数紧密相连.记数列2， $\frac{1}{2}$ ， $- 1$ ， 2， $\frac{1}{2}$ ， $- 1$ ， 2， $\frac{1}{2}$ ， -1，…为 ${a_{n}}$ ，三角形式可以表达为 $a_{n} = A s i n (ω n + ϕ) + B$ ，其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ .

(1)、记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{7}$ ， $S_{8}$ ， $S_{9}$ 及 $S_{n}$ ；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的三角形式通项公式.

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22. 已知函数 $y = f (x) = x l n x$ 和 $y = g (x) = m (x^{2} - 1) (m \in R)$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求方程 $f (x) = g (x)$ 的实根；

(2)、若对任意的 $x \in (1 ， + \infty)$ ，函数 $y = g (x)$ 的图象总在函数 $y = f (x)$ 的图象的上方，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、求证： $\frac{4}{4 \times 1^{2} - 1} + \frac{4 \times 2}{4 \times 2^{2} - 1} + \cdot \cdot \cdot + \frac{4 \times n}{4 \times n^{2} - 1} > l n (2 n + 1)$ ， $n \in N^{*}$ .

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