江苏省淮安市淮安区2021-2022学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-18 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 2}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知z＝ $\frac{2 - i}{i}$ ，则复数z的虚部为（）

A、－i B、2 C、－2i D、－2

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3. $c o s^{2} \frac{π}{12} - s i n^{2} \frac{π}{12} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 已知向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 1$ ， $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = - 1$ ，则 $\overset{⇀}{a} \cdot (2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}) =$

A、4 B、3 C、2 D、0

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5. 设命题 $p ： \forall x > 2$ ， $x^{2} < e^{x}$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\exists x > 2$ ， $x^{2} < e^{x}$ B、 $\exists x > 2$ ， $x^{2} \geq e^{x}$ C、 $\forall x > 2$ ， $x^{2} \geq e^{x}$ D、 $\forall x > 2$ ， $x^{2} > e^{x}$

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6. 函数 $y = \frac{x a^{x}}{| x |} (0 < a < 1)$ 的图像的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $3 S_{3} = S_{2} + S_{4}$ ， $a_{1} = 2$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、-12 B、-10 C、10 D、12

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8. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级γ可定义为γ＝0.6lgI，2021年3月13日下午江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日四川自贡发生里氏4.3级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的（）倍．

A、2 B、10 C、100 D、1000

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二、多选题

9. 下列命题中是真命题的是（）

A、 $A \cup \emptyset = \emptyset$ B、 $A ∩ B = B ∩ A$ C、 $∁_{U} (∁_{U} A) = A$ D、 $\emptyset \in {0}$

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10. 把函数 $f (x) = 2 s i n x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变）得到函数 $g (x)$ 的图象，关于 $g (x)$ 的说法正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称 B、函数 $g (x)$ 的图象的一条对称轴是 $x = - \frac{π}{12}$ C、函数 $g (x)$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $\sqrt{3}$ D、函数 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上单调递增

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11. 2019年10月31日，工信部宣布全国5G商用正式启动，三大运营商公布5G套餐方案，中国正式跨入5G时代.某通信行业咨询机构对我国三大5G设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示(每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则（）

A、P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商 B、三家设备商的产品组合指标得分相同 C、在参与评估的各项指标中，Q设备商均优于R设备商 D、除产品组合外，P设备商其他4项指标均超过Q设备商与R设备商

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12. 已知函数f(x)= ${\begin{array}{l} x e^{x} ， x < 1 \\ \frac{e^{x}}{x^{3}} ， x \geq 1 \end{array}$ ，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是（）

A、点（0，0）是函数f（x）的零点 B、 $\exists x_{1} \in (0 ， 1) ， x_{2}$ ∈（1，3），使f（ $x_{1}$ ）>f（ $x_{2}$ ） C、函数f（x）的值域为[ $- e^{- 1} ， + \infty)$ D、若关于x的方程[g（x）]²－2ag（x）=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ $\frac{2}{e^{2}} ， \frac{e^{2}}{8}]$ ∪（ $\frac{e}{2} ， + \infty$ ）

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三、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{O A} = (- 1 ， 2)$ ， $\overset{⇀}{O B} = (3 ， m)$ ， $\overset{⇀}{O A} ⊥ \overset{⇀}{A B}$ ，则 $m$ =.

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14. 曲线 $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2$ 在点 $(- 1 ， - \frac{7}{3})$ 处的切线为．

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15. 设 $a > 0$ ， $b > 1$ ，若 $a + b = 2$ ，则 $\frac{9}{a} + \frac{1}{b - 1}$ 的最小值为．

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16. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty ， + \infty)$ 的奇函数，满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ .若 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (50) =$

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四、解答题

17. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 5}$ ，集合 $B = {x | 2 - a \leq x \leq 1 + 2 a}$ ，其中 $a \in R$ ，若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要条件，求 $a$ 的取值范围

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18. 已知点 $P (1, t)$ 在角 $θ$ 的终边上，且 $sin θ = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，

(1)、求 $t$ 和 $cos θ$ 的值；

(2)、求 $\frac{sin θ + sin (θ - \frac{π}{2})}{\sqrt{2} cos (\frac{π}{2} + θ) - cos θ} + 3 sin (π - θ) cos (π + θ)$ 的值。

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19. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m - 3) x^{m - 2}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上为增函数.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $g (x) = l o g_{2} [f (x) + a x + 3]$ 在 $(- \infty ， 1]$ 上为减函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且满足 $c s i n A = a c o s C$ ， $c = 4$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $\sqrt{3} s i n A = c o s (B + \frac{π}{4}) + 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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21. 在① $a_{1}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $a_{2}$ 成等差数列，② $a_{1}$ ， $a_{2} + 1$ ， $a_{3}$ 成等比数列，③ $S_{3} = \frac{3}{4}$ ，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $3 S_{n} = a_{n} + 2 a_{1}, (n \in N^{*})$ ， $a_{1} \neq 0$ ，且________.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = - \log_{2} a_{n}^{2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{- x}$ （ $x \in R$ ）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和最值；

(2)、若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2$ .

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