湖北省重点中学沃学联盟2021-2022学年高三上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-08-18 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {2 ， - 2}$ ， $B = {x | x^{2} - a x + 4 = 0}$ ，若 $A ∪ B = A$ ，则实数a满足（）

A、 ${a | - 4 < a < 4}$ B、 ${a | - 2 < a < 2}$ C、 ${- 4 ， 4}$ D、 ${a | - 4 \leq a \leq 4}$

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2. 若命题“ $\forall x \in [0 ， 3]$ ，都有 $x^{2} - 2 x - m \neq 0$ ”是假命题，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 3]$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， 3]$ D、 $[3 ， + \infty)$

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3. 已知 $a > - 2$ ， $b > 0$ ，直线 $l_{1} ： x - (a - 2) y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： 2 b x - y - 2 = 0$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{9}{8}$

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4. 设 $a = \frac{1}{2} c o s 4 ° - \frac{\sqrt{3}}{2} s i n 4^{\circ} ， b = \frac{2 \tan 12^{\circ}}{1 + t a n^{2} 12^{\circ}} ， c = \sqrt{\frac{1 - \sin 40^{\circ}}{2}}$ ，则 $a ， b ， c$ 大小关系正确的是（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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5. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，三棱锥 $A_{1} - B C_{1} D$ 内切球的体积为 $\frac{4 π}{3}$ ，则正方体外接球的表面积为（）

A、24π B、36π C、48π D、96π

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6. 已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = c o s (\frac{π}{4} - ω x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递减，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 2]$ B、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{4}]$ D、 $[\frac{1}{2} ， \frac{5}{4}]$

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7. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设 $△ A B C$ 的面积为S，下列条件不能推出 $B \leq 60 °$ 的是（）

A、 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列 B、 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列 C、 $1 + c o s 2 B \geq 0$ D、 $S \leq \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$

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8. 若函数 $f (x) = e^{- x} - e^{x} + a x$ （ $a$ 为常数）有两个不同的极值点，则实数 $a$ 取值范围是（）

A、 $[- 1 ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 在 $△ A B C$ 中，点D满足 $\vec{B D} = \vec{D C}$ ，当点E在线段AD上移动时，记 $\vec{A E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则（）

A、 $λ = 2 μ$ B、 $λ = μ$ C、 ${(λ - 2)}^{2} + μ^{2}$ 的最小值为2 D、 ${(λ - 2)}^{2} + μ^{2}$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$

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10. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 首项 $a_{1} > 1$ ，公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，函数 $f (x) = x (x + a_{1}) (x + a_{2}) ⋯ (x + a_{7})$ ，若 $f^{'} (0) = 1$ ，则（）

A、 ${l g a_{n}}$ 为单调递增的等差数列 B、 $0 < q < 1$ C、 ${S_{n} - \frac{a_{1}}{1 - q}}$ 为单调递增的等比数列 D、使得 $T_{n} > 1$ 成立的 $n$ 的最大值为6

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11. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x) + f^{'} (x) > 1$ ， $f (0) = 4$ ，则关于不等式 $e^{x} f (x) > e^{x} + 3$ 的表述正确的为（）

A、解集为 $(0 ， + \infty)$ B、解集为 $(- \infty ， 0) \cup (3 ， + \infty)$ C、在 $[- 2 ， 2]$ 上有解 D、在 $[- 2 ， 2]$ 上恒成立

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12. 已知球O是三棱锥 $P - A B C$ 的外接球， $P A = A B = P B = A C = 2$ ，则 $C P = 2 \sqrt{2}$ ，点D是PB的中点，且 $C D = \sqrt{7}$ ，则下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $P - A B C$ 最长的棱棱长为 $2 \sqrt{2}$ B、 $A C ⊥$ 平面PAB C、球心O到底面PAB的距离为 $\sqrt{3}$ D、球O的表面积为 $\frac{28 π}{3}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = | x^{2} - 2 |$ .若 $f (a) = f (b)$ ，且 $0 < a < b$ ，则 $a b$ 的取值范围是.

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14. 在 $△ A B C$ 中，角A， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \vec{B A} \cdot \vec{B C} = 2$ ，那么 $c =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = x l n x + 2 + \frac{1}{a}$ ， $g (x) = - x^{2} - b x - 4$ ， $x = \frac{5}{2}$ 是函数 $g (x)$ 的极值点，若对任意的 $x_{1} \in [e^{- 1} ， 1]$ ，总存在唯一的 $x_{2} \in (- \infty ， 3)$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 2$ ，且 $S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} + n$ ， $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，则 $f (a_{2021}) =$ ．

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四、解答题

17. 已知p：不等式 $x^{2} + m x + 1 < 0$ 的解集为空集，q：函数 $y = 4 x^{3} + 4 (m - 1) x + 3$ 无极值，若p与q中有且仅有一个为真，求实数m的取值范围．

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18. 在锐角三角形 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，且满足 $\sqrt{3} a - 2 b s i n A = 0$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = \sqrt{7}$ ， $c = 2$ ，求 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值．

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19. 在公差不等零的等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{5}$ 依次成等比数列．数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n + 1} = 2 b_{n} - 1$ 且 $b_{1} = 3$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{2}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，试比较 $S_{n}$ 与 $1 - \frac{1}{b_{n}}$ 的大小．

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 与四边形 $B D E F$ 均为菱形， $∠ D A B = ∠ D B F = 60 °$ ，且 $F A = F C$

(1)、求证：平面 $A C F ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $A - F C - B$ 的余弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = (x - k) e^{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = a x l n x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，
①求 $f (x)$ 的极值；
②若对任意的 $x \geq e$ 都有 $f (x) \geq \frac{m}{x} e^{\frac{m}{x}}$ ， $m > 0$ ，求 $m$ 的最大值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + x^{2}$ 有且只有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $x_{1} x_{2} > e^{2}$ ．

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