湖北省孝感市普通高中协作体2021-2022学年高三上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-08-18 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | x^{2} < 9}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 设复数z满足 $z + i = 3 - i$ ，则 $\bar{z}$ ＝（）

A、 $- 1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $3 + 2 i$ D、 $3 - 2 i$

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3. 已知向量 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a} + 3 \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{B C} = 5 \overset{⇀}{a} + 3 \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{C D} = - 3 \overset{⇀}{a} + 3 \overset{⇀}{b}$ ，则（）

A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线 C、A，C，D三点共线 D、B，C，D三点共线

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ （a＞0）的离心率是 $\sqrt{5}$ 则a=（）

A、 $\sqrt{6}$ B、4 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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5. 函数f(x)=tan $(2 x - \frac{π}{3})$ 的单调递增区间是（）

A、 $[\frac{k π}{2} - \frac{π}{12} ， \frac{k π}{2} + \frac{5 π}{12}]$ (k∈Z) B、 $(\frac{k π}{2} - \frac{π}{12} ， \frac{k π}{2} + \frac{5 π}{12})$ (k∈Z) C、 $(k π + \frac{π}{6} ， k π + \frac{2 π}{3})$ (k∈Z) D、 $[k π - \frac{π}{12} ， k π + \frac{5 π}{12}]$ (k∈Z)

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6. 若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{10}$ 的标准差为8，则数据 $2 x_{1} - 1$ ， $2 x_{2} - 1$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $2 x_{10} - 1$ 的标准差为（）

A、8 B、15 C、16 D、32

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7. 已知 $f (x) = a sin x - b cos x$ ，若 $f (\frac{π}{4} - x) = f (\frac{π}{4} + x)$ ，则直线 $a x - b y + c = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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8. 若经过点 $(a ， b)$ 可以作曲线 $y = l n x$ 的两条切线，则下列正确的选项是（）

A、 $b < l n a$ B、 $b > l n a$ C、 $a < l n b$ D、 $a > l n b$

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二、多选题

9. 已知 $s i n (θ + π) < 0 ， c o s (θ - π) > 0$ ，则下列不等关系中成立的是（）

A、 $s i n θ < 0$ B、 $s i n θ > 0$ C、 $c o s θ > 0$ D、 $c o s θ < 0$

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10. 甲､乙两人下棋，和棋的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、甲获胜的概率是 $\frac{1}{6}$ B、甲不输的概率是 $\frac{2}{3}$ C、乙输的概率是 $\frac{2}{3}$ D、乙不输的概率是 $\frac{1}{2}$

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为e， $F_{1} 、 F_{2}$ 分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得 $∠ F_{1} P F_{2}$ 是钝角，则满足条件的一个e的值（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12. 已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD相交于点O．将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是（）

A、BD⊥CM B、存在一个位置，使△CDM为等边三角形 C、DM与BC不可能垂直 D、直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°

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三、填空题

13. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前7项和等于前2项和，若 $a_{1} = 1 ， a_{k} + a_{4} = 0$ ，则 $k =$ .

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14. 函数 $y = \frac{1}{l o g_{2} (x - 2)}$ 的定义域是．

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15. 一个与球心距离为 $\sqrt{3}$ 的平面截球所得的圆周长为 $2 \sqrt{6} π$ ，则球的表面积为.

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16. 函数 $f (x) = | a x - 1 | + e^{a x} (a < 0)$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 在△ABC中，AC=6， $c o s B = \frac{4}{5}$ ， $C = \frac{π}{4}$ ．

(1)、求AB的长；

(2)、求 $c o s (A - \frac{π}{6})$ 的值．

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18. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} > 0 ， n \in N^{*}$ ，且 $a_{3} - a_{2} = 8$ ，又 $a_{1} 、 a_{5}$ 的等比中项为16.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + a_{n}^{2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .

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19. 心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，按分层抽样的方法从数学兴趣小组中抽取50名同学（男30女20），给这些同学每人一道几何题和一道代数题，让每名同学自由选择一道题进行解答，则选题情况如表所示.

几何题
代数题
总计
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
总计
30
20
50
附：
$P (K^{2} \geq k)$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
$K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

(1)、能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关？

(2)、现从选择做几何题的8名女同学（包含甲､乙）中任意抽取2名，对这2名女同学的答题情况进行研究，记甲､乙2名女同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望 $E (X)$ .

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20. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.

(1)、求证：PA∥平面BDE；

(2)、若直线BD与平面PBC所成的角为30°，求二面角 $C - P B - D$ 的大小.

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21. 斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $y = x^{3}$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 两点， $O$ 为坐标原点.

(1)、当 $x_{1} + x_{2} = 2$ 时，求 $k$ ；

(2)、若 $O B ⊥ l$ ，且 $| A B | = 3 | O B |$ ，求 $| A B |$ .

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + l n x}{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若两个不相等正数 $x_{1} ， x_{2}$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ .

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	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

$P (K^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828