河南省洛阳市2021-2022学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-18 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x ∣ < 1}$ ， $B = {x ∣ 2^{x} < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(3+4i) z = 1 - i$ $(i$ 是虚数单位 $)$ ，则复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{5} - \frac{7}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} + \frac{7}{5} i$ C、 $- \frac{1}{25} - \frac{7}{25} i$ D、 $- \frac{1}{25} + \frac{7}{25} i$

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3. 在等比数列{a_n}中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} a_{3} = 8$ ，则 $\frac{a_{4} + a_{5}}{a_{1} + a_{2}} =$ （）

A、8 B、6 C、4 D、2

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4. 已知 $t a n α = \frac{3}{4}$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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5. 设变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \geq 0 ， \\ x + y - 2 \geq 0 ， \\ 3 x - y - 6 \leq 0 . \end{array}$ 则 $z = 3 x + y$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 据中国地震台网测定，2021年9月16日4时33分，四川省泸州市泸县发生里氏6.0级地震.已知地震时释放出的能量 $E$ （单位：焦耳）与地震里氏震级 $M$ 之间的关系为 $l g E = 4.8 + 1.5 M$ .据此测算，2021年3月20日17时09分在日本本州东岸近海发生的 $7.0$ 级地震所释放出的能量，约是该次泸县地震所释放出来的能量的多少倍？（精确到 $1$ ；参考数据： $\sqrt{10} \approx 3.16$ ）（）

A、19 B、23 C、32 D、41

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7. 某四面体的三视图如图所示，已知其正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四而体的四个面所在平面中，互相垂直的平面的对数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知 $p ： l o g_{a} 3 > l o g_{b} 3$ ， $q ： \frac{1}{a} > \frac{1}{b} > 0$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90 °$ . $D_{1}$ 、 $E_{1}$ 分别是 $A_{1} B_{1}$ 、 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $C A = C B = C C_{1}$ ，则 $A E_{1}$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{15}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$

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10. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，若点 $A (- a ， 0)$ ， $B (a ， 0)$ ， $C (\sqrt{a^{2} + b^{2}} ， b)$ 是等腰三角形的三个顶点，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 3 x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$

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11. 关于函数 $f (x) = c o s^{2} x s i n 2 x$ ，在下列论断中，不正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 内恰有2个极值点 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{8}$

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12. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\sqrt{{(a - 2 \sqrt{b})}^{2} + {(l n a - b)}^{2}} + b$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， m)$ ， $\vec{c} = (m ， 3 + m)$ .若 $\vec{a} ⊥ (2 \vec{b} + \vec{c})$ .则 $| \vec{b} | =$ ．

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14. 已知直线 $x - e^{2} y = 0$ 与曲线 $y = e^{x + a}$ 相切.则实数 $a =$ ．

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15. 已知三棱锥 $P - A B C$ 顶点都在球 $O$ 的表面上， $A B = 2 \sqrt{6}$ ， $B C = 1$ ， $A C = 5$ ，侧面 $P A B$ 是以 $P$ 为直角顶点的直角三角形，若平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，则球 $O$ 的表面积为．

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16. 已知直线 $l$ 与抛物线 $C ： y^{2} = x$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.且线段 $A B$ 的中点在直线 $y = 1$ 上，若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 2$ （ $O$ 为坐标原点），则 $△ A O B$ 的面积为．

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $a c o s B - b c o s A = c - b$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $\sqrt{2} a = 2 b - c$ ，求 $s i n B$ .

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18. 已知正项数列{a_n}的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足： $S_{n} = {(\frac{a_{n} + 1}{2})}^{2}$ .

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2^{n} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形，点 $M$ ， $N$ ， $P$ 分别是 $A D$ ， $A B$ ， $B D$ 的中点， $A D = 1$ ， $A B = 2$ ， $D D_{1} = \sqrt{3}$ ， $∠ B A D = 60 °$ .

(1)、证明：平而 $P M N ⊥$ 平面 $A_{1} A D D_{1}$ ；

(2)、求平而 $P M N$ 与平面 $P N C$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (0 ， 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，过点 $P$ 作斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，它们与椭圆的另一交点分别为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = 1$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、证明：直线 $P_{1} P_{2}$ 过定点.

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21. 已知函数 $f (x) = a (l n x + 2) - x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、设点 $A (x_{1} ， f (x_{1}))$ 和 $B (x_{2} ， f (x_{2}))$ 是曲线 $y = f (x)$ 上不同的两点，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，若 $a k < x_{1} + x_{2}$ 恒成立，求实数k的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{3}}{2} + t \\ y = \sqrt{3} t \end{array}$ （ $t$ 为参数）.以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 c o s θ$ .

(1)、求 $l$ 的普通方程和 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、已知 $M$ 是 $C$ 上的点，点 $N (- 1 ， 0)$ ，求 $M N$ 的中点到 $l$ 距离的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 4 | + | 2 x + 3 |$ .

(1)、画出 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、当 $x \in [- 2 ， 2]$ 时， $f (x) \geq a - 2 x$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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