河南省焦作市县级重点中学2021-2022学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-18 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知命题 $p ： \forall x \in R$ ， $x - 1 > 0$ ，则 $\neg p$ （）

A、 $\exists x \in R$ ， $x - 1 \leq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x - 1 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x - 1 \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x - 1 \geq 0$

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2. 设集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | y = \sqrt{x^{2} - 4}}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B)$ 等于（）

A、{1} B、{0} C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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3. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} (1 - x) ， x < 0 \\ 4^{x} ， x \geq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 1) + f (\log_{2} 3) =$ （）

A、9 B、10 C、11 D、12

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4. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为单位向量且夹角为 $θ$ ，则“ $| \vec{a} + \vec{b} | > | \vec{a} - \vec{b} |$ ”是“ $θ$ 为锐角”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 如图， $△ A B C$ 中，E是AB的中点，点F满足 $\vec{B F} = 2 \vec{F C}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

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6. 已知 $2 a = \log_{\frac{1}{3}} a$ ， $b = x^{2} - x + \frac{3}{4}$ ， $c = \ln \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数,且在区间 $[0, + \infty)$ 单调递增.若实数a满足 $f ({log}_{2} a) + f ({log}_{\frac{1}{2}} a) \leq 2 f (1)$ ,则a的取值范围是（）

A、 $[1, 2]$ B、 $(0, \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2}, 2]$ D、 $(0, 2]$

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8. 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）

A、16π B、4π C、8π D、2π

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9. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 1 ， {a_{n}}_{+ 2} = (1 + s i n^{2} \frac{n π}{2}) a_{n} + 4 c o s^{2} \frac{n π}{2}$ ，则 $a_{9} ， a_{10}$ 的大小关系为（）

A、 $a_{9} > a_{10}$ B、 $a_{9} = a_{10}$ C、 $a_{9} < a_{10}$ D、大小关系不确定

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10. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上满足 $f (1 + x) = 2 f (1 - x) - x^{2} + 3 x + 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程是（）

A、 $3 x - y - 2 = 0$ B、 $3 x + y - 2 = 0$ C、 $x - y + 1 = 0$ D、 $x - y - 2 = 0$

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11. 已知实系数一元二次方程 $x^{2} + (1 + a) x + a + b + 1 = 0$ 的两个实根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，并且 $0 < x_{1} < 2 ， x_{2} > 2$ ，则 $\frac{b}{a - 1}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， - \frac{1}{3})$ B、 $(- 3 ， - \frac{1}{3}]$ C、 $(- 3 ， - \frac{1}{2})$ D、 $(- 3 ， - \frac{1}{2}]$ .

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12. 已知定义在R上的可导函数 $f (x)$ 满足： $f^{'} (x) + f (x) < 0$ ，则 $\frac{f (m - m^{2})}{e^{m^{2} - m + 1}}$ 与 $f (1)$ 的大小关系是（）

A、 $\frac{f (m - m^{2})}{e^{m^{2} - m + 1}} > f (1)$ B、 $\frac{f (m - m^{2})}{e^{m^{2} - m + 1}} < f (1)$ C、 $\frac{f (m - m^{2})}{e^{m^{2} - m + 1}} \geq f (1)$ D、不确定

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二、填空题

13. 已知集合 $A = {x | \log_{2} x < 1}$ ， $B = {x | \frac{x - 1}{x + 2} < 0}$ ，则 $A \cap B =$ .

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14. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $A B = 2$ ，点 $N$ 为 $A C$ 的中点，点 $M$ 是边 $C B$ （包括端点）上的一个动点，则 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{B N}$ 的最小值是.

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15. 已知 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{m}{2} x^{2} - 6 x + 1$ 在 $(- 1 ， 1)$ 单调递减，则 $m$ 的取值范围为．

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16. 函数 $f (x)$ 是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意实数 $x, y$ 满足： $f (2) = 2, f (x y) = x f (y) + y f (x)$ , $a_{n} = \frac{f (2^{n})}{2^{n}} (n \in$ $N^{*})$ , $b_{n} = \frac{f (2^{n})}{n} (n \in N^{*})$ 考查下列结论：① $f (1) = 1$ ；② $f (x)$ 为奇函数；③数列 ${a_{n}}$ 为等差数列；④数列 ${b_{n}}$ 为等比数列.
以上结论正确的是．

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三、解答题

17. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ，又点 $A (8 ， 0)$ ， $B (n ， t)$ ， $C (k s i n θ ， t)$ ．

(1)、若 $\vec{A B} ⊥ \vec{a}$ ，且 $| \vec{A B} | = \sqrt{5} | \vec{O A} |$ ，求向量 $\vec{O B}$ ．

(2)、若向量 $\vec{A C}$ 与向量 $\vec{a}$ 共线，常数 $k > 0$ ，当 $f (θ) = t s i n θ$ 取最大值4时，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O C}$ ．

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18. 已知定义域为R的单调函数 $f (x)$ 是奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{x}{3} - 2^{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) < 0$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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19. 已知△ABC中， $a ， b ， c$ 分别是角A，B，C所对的边， $\frac{a}{c o s (A + C)} + \frac{b}{c o s A} = 0$ .

(1)、判断△ABC的形状；

(2)、若 $C = \frac{π}{6} ， c = \sqrt{6} - \sqrt{2} ，$ 求△ABC的面积.

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20. 设等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{3} = 20 ， a_{2} + a_{4} = 10$ .

(1)、令 $T_{n} = a_{1} a_{2} a_{3} ⋯ a_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的最大值；

(2)、令 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 n 项和 $S_{n}$ .

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21. 如图，已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = A A_{1}$ ， $A C ⊥ B C$ ， F为 $B C$ 的中点，E在 $A B$ 上，且 $B A = 3 B E$ ，点G在 $A A_{1}$ 上，且 $A C_{1} ⊥ E G$ ．

(1)、若 $A G = t A A_{1}$ ，求实数 $t$ 的值；

(2)、求二面角 $A - E F - G$ 的余弦值．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{2} a x^{2} + b x + 1$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线 $l$ 过点 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ .

(1)、若函数 $g (x) = f (x) - (a - 1) x (a > 0)$ ，求 $g (x)$ 的最大值（用 $a$ 表示）；

(2)、若 $a = - 4 ， f (x_{1}) + f (x_{2}) + x_{1} + x_{2} + 3 x_{1} x_{2} = 2$ ，证明： $x_{1} + x_{2} \geq \frac{1}{2}$ .

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