福建省福州市五校联考2022届高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-18 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知命题 $p ： \forall x ≥ 1 ， 2^{x} - l o g_{2} x ≥ 1$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x < 1 ， 2^{x} - l o g_{2} x < 1$ B、 $\forall x ≥ 1 ， 2^{x} - l o g_{2} x < 1$ C、 $\exists x < 1 ， 2^{x} - l o g_{2} x < 1$ D、 $\exists x ≥ 1 ， 2^{x} - l o g_{2} x < 1$

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 1} ， B = {x | \log_{2} x < 1}$ ，则如图所示阴影部分表示的集合为（）

A、 ${x | - 1 < x < 1}$ B、 ${x | 0 < x < 1}$ C、 ${x | 0 < x < 2}$ D、 ${x | - 1 < x < 2}$

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3. 已知 $i$ 为虚数单位，且复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 1 - 3 i$ ，则 $z$ 的共轭复数是（）

A、 $- 3 + i$ B、 $- 3 - i$ C、 $3 + i$ D、 $3 - i$

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4. 若 $a = {(\sqrt{2})}^{\frac{2}{3}}, b = \log_{3} e, c = {(\frac{1}{e})}^{- \frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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5. 在△ $A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，E为 $A D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{E B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{2 | x |}{\ln | x |}$ 在其定义域上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的 $\sqrt[10]{10}$ 倍，若视力4.2的视标边长为 $a$ ，则视力5.1的视标边长为（）

A、 $10^{- \frac{9}{10}} a$ B、 $10^{- \frac{4}{5}} a$ C、 $10^{\frac{4}{5}} a$ D、 $10^{\frac{9}{10}} a$

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8. 定义在R上的偶函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上单调递减，且满足 $f (x + 2) = f (x)$ ， $f (π) = 1$ ， $f (2 π) = 2$ ，则不等式组 ${\begin{array}{l} 1 \leq x \leq 2 ， \\ 1 \leq f (x) \leq 2 \end{array}$ 的解集为（）

A、 $[1 ， \frac{π}{2}]$ B、 $[2 π - 6 ， 4 - π]$ C、 $[π - 2 ， \frac{π}{2}]$ D、 $[π - 2 ， 8 - 2 π]$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} + \vec{b} = (1 ， 1)$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (- 3 ， 1)$ ， $\vec{c} = (2 ， 2)$ ，设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ B、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ C、 $\vec{b} / / \vec{c}$ D、 $θ = 135 °$

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10. 对于实数a、b、c，下列命题中正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} < b c^{2}$ B、若 $a > b$ ， $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a > 0$ ， $b < 0$ C、若 $c > a > b > 0$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$

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11. 已知复数 $z = c o s θ + i s i n θ (- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2})$ （其中i为虚数单位），下列说法正确的是（）

A、复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B、 $| z | = c o s θ$ C、 $z \cdot \bar{z} = 1$ D、 $z + \frac{1}{z}$ 为实数

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x} (x + 1)$ ，给出下列命题：①当 $x > 0$ 时， $f (x) = - e^{- x} (x - 1)$ ；②函数 $f (x)$ 有2个零点；③ $f (x) < 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ ；④ $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 2$ .其中所有正确结论的编号是（）

A、① B、② C、③ D、④

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三、填空题

13. 已知 $α \in (0 ， π)$ 且 $t a n α = 3$ ，则 $c o s α =$ .

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14. 曲线C： $y = x e^{x}$ 在点M（1，e）处的切线方程为．

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15. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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16. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ ， $f^{'} (x) + 4 x > 0$ ，其中 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则不等式 $f (s i n x) - c o s 2 x \geq 0$ 的解集为.

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四、解答题

17. 已知p： $\frac{x + 1}{x - 2} > 1$ ，q：x>a²-2a-1

(1)、若 $\neg p$ 为真，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 如图，以 $O x$ 为始边作角 $α$ 与 $β (0 < β < α < π)$ ，它们的终边分别与单位圆相交于点 $P$ 、 $Q$ ，已知点 $P$ 的坐标为 $(- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ．

(1)、求 $\frac{s i n 2 α + c o s 2 α + 1}{1 + t a n α}$ 的值；

(2)、已知 $O P ⊥ O Q$ ，求 $s i n (α + β)$ ．

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19. 在① $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = - \frac{1}{2}$ ， ② $a_{n + 1} - a_{n} = - \frac{1}{6}$ ， ③ $a_{n + 1} = a_{n} + n - 8$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 4$ ， _______，求 ${a_{n}}$ 的通项公式，并判断 $S_{n}$ 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．

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20. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，且 $2 c c o s B = 2 a + b$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{12} c$ ，求 $a b$ 的最小值.

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21. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且 $\frac{1}{2}$ Sn＝2n﹣1.

(1)、求数列{an}的通项公式，

(2)、设函数f(x)＝( $\frac{1}{2}$ )x，数列{bn}满足条件b₁＝f(﹣1)，f(bn₊₁) $= \frac{1}{f (- b_{n} - 3)}$ ．
①求数列{bn}的通项公式，
②设cn $= \frac{b_{n}}{a_{n}}$ ，求数列{cn}的前n项和Tn．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - m x + 1$ ， $g (x) = x (e^{x} - 2)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的最大值是0，求 $m$ 的值；

(2)、若对其定义域内任意 $x$ ， $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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