江苏省苏州市西安交通大学苏州附属初级中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2022-08-18 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A、x²＋3y＝1 B、x²＋3x＝1 C、ax²＋bx＋c＝2 D、 $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} = 1$

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2. 图①是苏州园林内的一种窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，该图案是由1个正六边形和6个全等的等边三角形组成的，则该图案（）

A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形 B、是中心对称图形但并不是轴对称图形 C、是轴对称图形但并不是中心对称图形 D、既是轴对称图形又是中心对称图形

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3. 若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0 (a \neq 0)$ 的一个解是 $x = 1$ ，则 $2020 - a - b$ 的值是（）

A、2025 B、2015 C、2021 D、2019

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4. 下列关于反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 的描述，正确的是（）

A、它的图象经过点（ $\frac{1}{2}$ ， 4） B、图象的两支分别在第二、四象限 C、当x＞2时，0＜y＜4 D、x＞0时，y随x的增大而增大

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5. 用配方法解方程 $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 时，配方结果正确的是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 3$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x + 2)}^{2} = 3$

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6. 如图，已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形，对角线 $A C 、 B D$ 交于点 $O$ ，则下列结论中错误的是（）

A、当 $A B = B C$ 时，它是菱形 B、当 $∠ A B C = 90 °$ 时，它是正方形 C、当 $A C = B D$ 时，它是矩形 D、当 $A C ⊥ B D$ 时，它是菱形

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7. 若一元二次方程 $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）

A、 $a < 1$ B、 $a \leq 1$ C、 $a \leq 1$ 且 $a \neq 0$ D、 $a < 1$ 且 $a \neq 0$

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8. 如图，正方形ABCD和▱AEFC，点B在EF边上，若正方形ABCD和▱AEFC的面积分别是S₁、S₂的大小关系是（）

A、S₁＞S₂ B、S₁=S₂ C、S₁＜S₂ D、无法确定

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9. 某气球内充满了一定质量 $m$ 的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 $p$ （单位： $kPa$ ）是气体体积 $V$ （单位： $m^{3}$ ）的反比例函数： $p = \frac{m}{V}$ ，能够反映两个变量 $p$ 和 $V$ 函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形 $O E F G$ 绕着正方形 $A B C D$ 的对角线的交点 $O$ 旋转，正方形 $O E F G$ 与边 $A B$ 、 $B C$ 分别交于点 $M$ 、 $N$ （不与端点重合），设两个正方形重叠部分形成图形的面积为 $m$ ， $△ B M N$ 的周长为 $n$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $m$ 发生变化， $n$ 存在最大值 B、 $m$ 发生变化， $n$ 存在最小值 C、 $m$ 不发生变化， $n$ 存在最大值 D、 $m$ 不发生变化， $n$ 存在最小值

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二、填空题

11. 若双曲线 $y = \frac{2 k - 1}{x}$ 的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是

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12. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，则对角线AC的长为.

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13. 如图，在平行四边形 ABCD中，AD＝7，AB＝5，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE的长是．

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14. 如图，函数 $y_{1} = x - 1$ 和函数 $y_{2} = \frac{2}{x}$ 的图象相交于点 $M (2 ， m)$ ， $N (- 1 ， n)$ ，若 $y_{1} > y_{2}$ ，则x的取值范围是.

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15. 对于任意实数a、b，定义一种运算： $a \otimes b = a^{2} + b^{2} - a b$ ，若 $x \otimes (x - 1) = 3$ ，则x的值为.

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16. 如图，点A是反比例函数 $y = \frac{12}{x} (x > 0)$ 的图象上一点，过点A作 $A C ⊥ x$ 轴于点C， $A C$ 交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点.若 $Δ P A B$ 的面积为2，则k的值为.

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17. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 6 x + n = 0$ 的两个根，则 $n$ 的值为．

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18. 如图，已知点A在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＜0）上，B，C两点在x轴上，△ABC是以AC为底边的等腰直角三角形，过点B作BD⊥AC交y轴于点E，交AC于点D，若△BCE的面积为3，则k的值为．

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三、解答题

19. 解方程：

(1)、x²－2x－3＝0

(2)、2x²＋1＝3x

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20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（5，0），C（4，2）．

(1)、画出△ABC关于点O的中心对称图形，点A、B、C的对应点分别是D、E、F；

(2)、若y轴上存在一点M，使得△MDF的周长最小，求点M的坐标．

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 m x + 3 m^{2} = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若 $m > 0$ ，且该方程的两个实数根的差为2，求 $m$ 的值．

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22. 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．

(1)、求证：BD＝EC；

(2)、当∠DAB为多少度时，四边形BECD为菱形？并说明理由．

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23. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 上的图象与一次函数 $y = m x + n$ 的图象相交于 $A (a ， - 1)$ ， $B (- 1 ， 3)$ 两点.

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、设直线 $A B$ 交y轴于点C，点 $N (t ， 0)$ 是正半轴上的一个动点，过点N作 $N M ⊥ x$ 轴交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象于点M，连接 $C N$ ， $O M$ .若 $S_{四边形 C O M N} > 3$ ，求t的取值范围.

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24. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．

(1)、若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？

(2)、若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？

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25. 方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时.

(1)、求v关于t的函数表达式；

(2)、方方上午8点驾驶小汽车从A出发.
①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围.

②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由.

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26. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度 $α$ 得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．

(1)、如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；

(2)、如图2，若 $α$ =60° 时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形；

(3)、当BC＝2时，连接CE，CD，设△CDE的面积为S．在旋转过程中，S是否存在最大值？若存在，请直接写出S的最大值；若不存在，请说明理由．

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27. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，∠DAC=30°，∠ACD=90°，AD=8，点M为AC的中点，动点E从点C出发以每秒1个单位的速度运动到点B停止，连接EM并延长交AD于点F，设点E的运动时间为t秒．

(1)、求四边形ABCD的面积；

(2)、当∠EMC=90°时，判断四边形DCEF的形状，并说明理由；

(3)、连接BM，点E在运动过程中是否能使△BEM为等腰三角形?如果能，求出t；如果不能，请说明理由．

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