北京市西城区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-08-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在平面直角坐标系中，点 $(3 ， - 5)$ 所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 若 $m > n$ ，则下列各式中正确的是（）

A、 $m + 2 < n + 2$ B、 $m - 3 < n - 3$ C、 $- 5 m < - 5 n$ D、 $\frac{m}{6} < \frac{n}{6}$

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3. 如图， $A B ∥ C D$ ，点E在AB上，过点E作AB的垂线交CD于点F ．若∠ECD＝40°，则∠CEF的大小为（）

A、40° B、50° C、60° D、70°

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4. 下列命题错误的是（）

A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直

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5. 解方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 8 ， \\ 3 x - 2 y = - 1 \end{array}$ 的思路可用如图的框图表示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为（）

A、①×2+②×3 B、①×2-②×3 C、①×3-②×2 D、①×3+②×2

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6. 小王同学参观“探秘中轴线”展览助力“北京中轴线申遗”，为更详细地了解所生活的北京城的历史，她查阅资料发现了下图．若按图所示建立平面直角坐标系，表示永定门的点的坐标为（0，0），表示西直门的点的坐标为 $(- 3 ， 5)$ ，则表示下列地点的点的大致坐标正确的是（）

A、健德门（1，7.8） B、东直门（3，5） C、会城门 $(- 3 ， 3)$ D、宣武门（0，2.1）

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7. 下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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8. 在《2016-2021年中国公民数字素养研究报告》中，中国社会科学院信息化研究中心课题组对我国城市居民的数字素养展开评估．下面是根据我国城市居民的11项数字素养平均值制作的统计图．

根据统计图提供的信息，下面关于我国城市居民数字素养指标的判断错误的是（）

A、信息真实性判别表现最好 B、数字内容创建能力表现最弱 C、专业领域数字化应用能力的表现要好于数字化协作的表现 D、平均值高于70%的指标有智能手机应用、信息真实性判别、数字安全意识

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二、填空题

9. 若 ${\begin{array}{l} x = 1 ， \\ y = 2 \end{array}$ 是方程 $2 x + a y = 8$ 的解，则a的值为．

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10. 在下图中，直线 $a ∥ b$ ，指定位置的三条射线c ， d ， e满足 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ， $d ∥ e$ ．有以下两个结论：①c与d一定共线；② $c ∥ e$ ．其中正确的结论是（只填写序号）．

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11. 在实数 $\sqrt{{(- 2)}^{2}}$ ， $\sqrt[3]{27}$ ， $\frac{π}{3}$ ， $\frac{2}{7}$ 中，无理数是．

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12. 在等式 ${[() + 5]}^{2} = 49$ 中，（）内的数等于．

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13. 在平面直角坐标系xOy中， $A (- 3 ， 5)$ 到y轴的距离等于．

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14. 将命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式为

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15. 操作任务：将初始图九宫格中剪开的9格图片进行平移，拼出目标图《九九消寒图》．
操作规则：为了有效地记录、检验和交流平移过程，小明和同伴约定用“有序数对”描述平移方式并填写操作记录图．约定如下：将初始图中的初始位置图片进行平移，横向移动标记在前，纵向移动标记在后，将向右（或向上）平移1格记为+1（正号可省略），反之记为 $- 1$ ，以此类推，不移动记为0．如“前”字在对应位置标记为 $(2 ， - 1)$ ．

(1)、操作记录图中“*”位置应填；

(2)、判断：操作记录图中，是否有应标记（0，0）的位置.(请填写“有”或“无”)

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16. 与 $\sqrt{22}$ 最接近的整数是，简述判断过程：．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、计算： $| \sqrt{3} - 3 | - \sqrt{9} + \sqrt[3]{- 8}$ ；

(2)、已知 $| 2 x + y | + {(x + y - 3)}^{2} = 0$ ，求 $3 x + 2 y$ 的值．

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18. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x - 2 > 3 (x - 1) ， \\ \frac{1}{2} x - 1 \leq 3 - \frac{3}{2} x \end{array}$ 在数轴上表示出它的解集，并求它的整数解．

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19. 如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠BCD＝∠A ．点E ， F分别在BC ， AC边上， $∠ A + ∠ A D F = 90 °$ ， $∠ B C D + ∠ C D E = 90 °$ ， DF的延长线上一点G满足∠G＝∠CDE ．

(1)、求证： $C G ∥ A B$ ；
请将下面的证明过程补充完整：

证明：∵ $∠ A + ∠ A D F = 90 °$ ， $∠ B C D + ∠ C D E = 90 °$ ， ∠BCD＝∠A ，

∴∠ADF＝∠_▲_ ．（理由：     ）

∵∠G＝∠CDE ， ∴∠_▲_＝∠_▲_ ．（理由：      ）

∴ $C G ∥ A B$ ．（理由：     ）

(2)、图中与∠DCG相等的角是．

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20. 随着我国物流行业市场的成熟发展和技术成熟度的显著提升，物流无人机的市场价格下降很快，物流无人机得到了广泛的应用．已知1架甲型物流无人机与7架乙型物流无人机总价为435万元，2架甲型物流无人机与9架乙型物流无人机总价为845万元．甲型和乙型物流无人机每架各多少万元？

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21. 在平面直角坐标系xOy中， $A (2 ， - 1)$ ， B（4，3），将线段AB先向左平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段CD（其中点A的对应点为点C ，点B的对应点为点D），线段CD恰好过点O ．线段AB上的点E平移后的对应点为点O ．

( 1 )补全图形，直接写出点C和点E的坐标；

( 2 )画出四边形BDCE并求它的面积．

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22. 故宫博物院为鼓励游客参与“故宫零废弃”项目做好垃圾分类，在“数字故宫”小程序中推出了一项体验活动，将故宫改造升级后的垃圾桶编号并精心布局，在每个垃圾桶点位（共79个）设置一道与院内场景相关的篆体古字题目，游客点击相应点位的垃圾桶编号解答题目，以形会意，看字识“物”，并在感受中国传统文化的同时，了解垃圾分类知识．

王老师在全年级随机邀请了40名学生在线参与答题，小明所在小组收集、整理同学们看字识“物”和辨别垃圾的答题成绩并制作统计图表（成绩设为百分制）．下面是这40名学生成绩的频数分布表、频数分布直方图（数据分成4组： $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x < 100$ ），以及部分数据信息．

c ． $80 \leq x < 90$ 这一组的成绩是：

80，80，80，80，81，81，81，83，83，83，84，84，84，85，87．

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、请补全成绩频数分布表和成绩频数分布直方图；

(2)、①直接写出这40名学生中，成绩不低于85分的人数；
②若小明所在年级的200名学生参与此项活动，估计这200名学生中有多少人成绩不低于85分．

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23. 小明设计了如下一个小程序，用户运行此程序时，先在第一象限内任取一个点P ，程序就会在该点的右上方按逆时针方向画一个长方形PQMN（包含可能出现正方形的情况），且水平边PQ的长等于这一点的横坐标，竖直边PN的长等于这一点的纵坐标，称此长方形为“程序长方形”．

(1)、图1所示的五个长方形，记为图形I，II，III，IV，V，其中程序长方形是，程序长方形最初所取点P的坐标为；

(2)、如图2，小明在第一象限画了10个整点（即横、纵坐标都为整数的点）A ， B ， C ， …，J ，程序相应地可画出10个长方形．

实验探究：

①在射线OF上任取一点（不同于点O），则该点所对应的程序长方形的水平边与竖直边的长度之比等于；

②在直线AB位于第一象限的部分上任意取几个点，写出这些点所对应的程序长方形的一条共同特征；

③记点I所对应的程序长方形的面积为s ．若要画一个整点K ，使它对应的程序长方形的面积小于s且周长尽可能大，直接写出点K的坐标．

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24. 已知 $∠ X O Y = 2 α (0 ° < α < 45 °)$ ，点A在射线OX上，点P在∠XOY外部， $P A ∥ O Y$ ，以P为顶点，PA为一边，大小为α的角的另一边交射线OX于点M ．

(1)、如图1，当点M与点O位于PA所在直线异侧时，∠XOY的平分线与射线PA的交点为点N ．补全图形并直接写出直线ON与直线PM的位置关系；

(2)、当点M与点O位于PA所在直线同侧时，射线PM与射线OY交于点B ，点C在线段BA的延长线上．
①如图2，若AP平分∠OAC ，求证：BP平分∠OBC；

②当PM⊥OA时，直接写出α的度数并画出正确的图形．

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25. 对于实数m ，可用[m]表示不超过m的最大整数，例如：[2.7]＝2， $[- 5] = - 5$ ．

(1)、 $[- 2.5] =$ ，[0]＝；

(2)、若实数x满足 $[x] + [2 x] = 5 x - 6$ ，求满足条件的x的值．

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26. 在平面直角坐标系xOy中，对于点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{k}$ ，若这k个点的横坐标的最大值为m ，纵坐标的最大值为n ，将 $m + n$ 记为 $T < A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{k} >$ ，称为这k个点的“平面特征值”．如对于M（1，2），N（1，3），T<M ， $N > = 1 + 3 = 4$ ．如图， $A (- 4 ， 0)$ ， B（4，0），正方形ABCD的边AB在x轴上，边CD与y轴正半轴的交点为点E ．

(1)、T<A ， D ， E>＝；

(2)、已知F（0，b），过点F作直线l⊥y轴，直线l与直线AC交于点P ，直线l与直线BD交于点Q ．记T<A ， B ， P ， Q>＝s ．
①当b＝6时，s＝；

②用含b的式子表示s ，判断当点F在y轴上运动时，s是否存在最大值或最小值，如果存在，写出s的值以及相应点F的坐标．

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