北京市昌平区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-08-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图， $O A ⊥ O B$ ， $∠ B O C = 40 °$ ，则 $∠ A O C$ 的度数为（）

A、50° B、60° C、140° D、160°

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2. 种子的重量一般用千粒重来表示，即1000粒种子的质量（克），一般番茄种子的平均千粒重为3.1克左右，那么每粒种子的重量约为0.0031克，将0.0031用科学记数法表示为（）

A、 $0.031 \times 10^{- 1}$ B、 $0.31 \times 10^{- 2}$ C、 $3.1 \times 10^{- 3}$ D、 $31 \times 10^{- 4}$

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3. 已知 $a < b$ ，下列变形错误的是（）

A、 $a + 6 < b + 6$ B、 $a - 3 < b - 3$ C、 $- 3 a > - 3 b$ D、 $\frac{1}{6} a > \frac{1}{6} b$

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4. 下列调查中，适合用全面调查的是（）

A、了解20万只节能灯的使用寿命 B、了解某班35名学生的视力情况 C、了解某条河流的水质情况 D、了解全国居民对“垃圾分类”有关内容的认识程度

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{5} = a^{8}$ B、 $a^{5} + a^{5} = a^{10}$ C、 ${(- a^{3})}^{2} = - a^{5}$ D、 ${(a b)}^{2} = a b^{2}$

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6. 如图，直线 $A B$ $∥$ $C D$ ，直线 $E F$ 分别与直线 $A B$ 、 $C D$ 交于点E、F，∠1=50°，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $45 °$ D、 $55 °$

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7. 如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片，再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式（）

A、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ C、 $a^{2} + b^{2} = (a + b) (a - b)$ D、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

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8. 在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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二、填空题

9. 今年高考第一天（6月7日）昌平区最高气温是29℃，最低气温是19℃，请用不等式表示这一天气温：t（℃）的变化范围：≤t≤ ．

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10. 分解因式： $m a^{2} - m b^{2}$ = ．

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11. 如果 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 2 \end{array}$ 是二元一次方程 $a x + y = 3$ 的解，那么a的值是．

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12. 计算： $(16 m^{2} + 8 m) \div 8 m =$ ．

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13. 下列命题是真命题的有（填写相应序号）．
①对顶角相等；②两个锐角的和是钝角；③两直线平行，同旁内角互补；④一个正数与一个负数的和是负数．

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14. 在居家学习期间，某中学要求学生积极参加体育锻炼，坚持参加“仰卧起坐”、“跳绳”等项目，小雨连续记录了自己5天一分钟“仰卧起坐”的个数：45，44，42，41，43，则这组数据的平均数为．

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15. 已知 $2^{x} = 8$ ， $2^{y} = 4$ ，则 $2^{x - y} =$ ．

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16. 某中学为积极开展校园足球运动，计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球价格为120元，一个B品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元全部用完，请写出一种购买方案：买个A品牌足球，买个B品牌足球．

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三、解答题

17. 计算： $x (3 + 5 x - y)$

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18. 计算： $(x - 1) (x + 2)$

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19. 解不等式 $5 x - 2 > 2 x + 4$ ，并在数轴上表示出不等式的解集．

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20. 解方程组 ${\begin{matrix} x + 2 y = 3 ， \\ 3 x - 2 y = 1. \end{matrix}$

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21. 解不等式组 ${\begin{matrix} 2 (x - 1) > - 4 ， \\ \frac{1 - 2 x}{3} < 1 - x ， \end{matrix}$ 并写出它的整数解．

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22. 请补全证明过程或推理依据：
已知：如图，点C在射线 $O A$ 上，点D在射线 $O B$ 上，点E在 $∠ A O B$ 内部， $C E$ // $O B$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ．

求证： $D E$ // $O A$ ．

证明：∵ $C E$ // $O B$ （已知）．

∴ $∠ E = ∠ 2$ （）

∵ $∠ 1 = ∠ 2$ ，

∴ $∠ 1 =$ _▲_（等量代换）

∵ $D E$ // $O A$ （）

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23. 先化简，再求值：已知 $a^{2} - 5 a - 1 = 0$ ，求代数式 ${(a - 3)}^{2} - a (a - 1) + (a + 2) (a - 2)$ 的值．

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24. 2022年6月5日10时44分，我国神舟十四号载人飞船发射成功，航天员乘组将在轨工作生活6个月，某校为了解学生对中国航天事业的关注程度，开展了一次竞赛答题活动，随机抽取了部分同学的得分情况，绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中信息，回答下列问题：

(1)、本次共抽取了名同学；

(2)、扇形统计图中“10分”所对应的扇形圆心角度数为；

(3)、补全条形统计图；

(4)、本次调查中，学生得分的众数是分，中位数是分；

(5)、该校共有1000名学生，请你估计该校“不低于6分”的同学有多少人？

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25. 每年的4月23日是世界读书日.某校计划购入A，B两种规格的书柜用于放置图书．经市场调查发现，若购买A种书柜3个，B种书柜2个，共需资金1020元；若购买A种书柜1个，B种书柜3个，共需资金900元．

(1)、A、B两种规格的书柜的单价分别是多少？

(2)、若该校计划购买这两种规格的书柜共20个，学校至多投人4350元的资金购买书柜，则B种书柜最多可以购买多少个？

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26. 数学王老师在探索乘法公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）证明了勾股定理.2002年在北京召开的国际数学家大会把“赵爽弦图”作为会徽（如图1），彰显了这一中国古代的重大成就．

运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下：

“赵爽弦图”是将四个完全相同的直角三角形（如图2，其中构成直角的两条边叫直角边，边长分别为a和b，且 $a < b$ ；最长的那条边叫做斜边，边长为c）围成一个边长为c的大正方形（如图3），中间空的部分是一个边长为 $b - a$ 的小正方形．

(1)、验证过程：大正方形的面积可以表示为 $S = c^{2}$ ，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为 $S = 4 \times \frac{1}{2} a b + {(b - a)}^{2}$ ， ∴ $c^{2} = 4 \times \frac{1}{2} a b + {(b - a)}^{2}$ ．
化简等号右边的式子可得∴ $c^{2} =$ ．

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

(2)、爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图4），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程．

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27. 若关于x的一个一元一次不等式组的解集为 $a < x < b$ （a、b为常数且 $a < b$ ），则称 $\frac{a + b}{2}$ 为这个不等式组的解集中点．如果一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的解集中点相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的关联方程．

(1)、在方程① $2 x - 3 = 0$ ， ② $2 x + 4 = 0$ ， ③ $3 x - (7 x - 6) = 0$ 中，不等式组 ${\begin{matrix} x + 2 < 3 x \\ 4 (x - 1) < x + 2 \end{matrix}$ 的关联方程是．（填序号）

(2)、已知不等式组 ${\begin{matrix} x + 2 < 1 \\ \frac{x + 1}{4} > - \frac{1}{2} \end{matrix}$ ，请写出这个不等式组的一个关联方程．

(3)、若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} 2 x > x + m \\ x - 4 < m \end{matrix}$ 的解集中点大于方程 $3 (x + \frac{1}{3}) = 2 x + 3$ 的解且小于方程 $2 x + 6 = 4 x$ 的解，求m的取值范围．

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28. 如图1，直线 $M N$ 与直线 $A B$ 、 $C D$ 分别交于点E、F， $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ．

(1)、请直接写出直线 $A B$ 与 $C D$ 的位置关系；

(2)、如图2，动点P在直线 $A B$ ， $C D$ 之间，且在直线 $M N$ 左侧，连接 $E P$ ， $F P$ ，探究 $∠ A E P$ ， $∠ E P F$ ， $∠ P F C$ 之间的数量关系．

小明经过分析证明的过程如下：过点P作 $P H$ // $A B$ ． ∴ $∠ A E P =$ （两直线平行，内错角相等）．

∵ $A B$ // $C D$ （已知），

∴ $C D$ // $P H$ （平行于同一条直线的两条直线平行）．

∴ $∠ P F C = ∠ H P F$ （两直线平行，内错角相等）．

∵ $∠ E P F = ∠ E P H + ∠ H P F$ ，

∴（等量代换）．

请你补全上述的证明过程．

(3)、小明进一步探究，分别作出 $∠ P E B$ 和 $∠ P F D$ 的角平分线，若两条角平分线交于点 $Q$ ，如图3．

①若 $∠ E P F = 90 °$ ，则 $∠ E Q F$ ．

②探究 $∠ E P F$ 与 $∠ E Q F$ 的数量关系，小明思路如下：设 $∠ E P F = α$ ，进一步可知 $∠ P E B + ∠ P F D =$ （用含 $α$ 的式子表示）．设 $∠ E Q F = β$ ．用等式表示 $α$ 与 $β$ 的数量关系．

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