北京市平谷区2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2022-08-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 2022年6月5日10时44分，神舟十四号飞船发射成功．航天员在天和核心舱与祖国人民通过电磁波沟通交流．电磁波理论上可以在 0.000 003秒内接收到相距约1千米的信息．将数字 0.000 003用科学记数法表示应为（）

A、 $3 \times 1 0^{- 5}$ B、 $3 \times 1 0^{- 6}$ C、 $0.3 \times 1 0^{- 5}$ D、 $0.3 \times 1 0^{- 6}$

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2. 已知 $a < b$ ，下列不等式中，错误的是（　　）

A、 $a + 2 < b + 2$ B、 $a - 3 < b - 3$ C、5a＜5b D、 $- 6 a < - 6 b$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{- 1} = - a$ B、 $a^{2} \div a^{2} = 0$ C、 $a \cdot a^{3} = a^{4}$ D、 ${(a^{3})}^{2} = a^{9}$

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4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $x (x + y) = x^{2} + x y$ B、 $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ C、 $x^{2} + x + 1 = x (x + 1) + 1$ D、 $x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}$

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5. 下列事件中，调查方式选择合理的是（）

A、为了解某班学生体重情况，选择全面调查 B、为了保证载人飞船成功发射，对重要零部件的检查采用抽样调查 C、为了解某大型食品厂生产的食品的合格率，选择全面调查 D、为了解平谷区洳河的水质情况，选择全面调查

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6. 下列命题中，真命题是（）

A、相等的角是对顶角 B、两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C、平行于同一条直线的两条直线互相平行 D、垂直于同一条直线的两条直线互相垂直

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7. 如图，下列条件中，能判断直线AB $∥$ CD的是（　　）

A、∠2＝∠3 B、∠1＝∠4 C、∠BAD＝∠BCD D、∠1+∠2＝180°

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8. 如图，AB∥CD，∠D=46°，∠E=29°，则∠B的度数是（）

A、17° B、27° C、29° D、46°

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二、填空题

9. $30 °$ 的余角是°.

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10. 计算 $- 12 a^{3} b^{2} c \div 3 a^{2} b$ 的结果是．

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11. 利用图1中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），那么图2这个几何图形表示的可以等式是．

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12. “x的5倍与4的和是负数”用不等式表示为．

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13. 观察下列表格，写出方程组 ${\begin{array}{l} 7 x - 3 y = 50 \\ 8 x - y = 62 \end{array}$ 的解是．
$7 x - 3 y = 50$
$x$
…
$- 1$
$2$
$5$
$8$
$11$
…
$y$
…
$- 19$
$- 12$
$- 5$
2
$9$
…
$8 x - y = 62$
$x$
…
$- 1$
$2$
$5$
$8$
$11$
…
$y$
…
$- 70$
$- 46$
$- 22$
2
$26$
…

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14. 如图，直线a $∥$ b，直线AB分别与直线a，b相交于点C和点B，过点C作射线CD⊥AB于C，若∠1＝57°，则∠2的度数是．

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15. 若 $x < a$ 的解集中的最大整数解为2，则a的取值范围是．

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16. 为美化广场环境要建花坛，一个花坛由四季海棠、三色堇、蔷薇三种花卉组成，这三种花卉的盆数同时满足以下三个条件：
a．三色堇的盆数多于四季海棠的盆数；
b．四季海棠的盆数多于蔷薇的盆数；
c．蔷薇盆数的2倍多于三色堇的盆数．
①若蔷薇的盆数为4，则四季海棠盆数的最大值为：
②一个花坛花盆数量的最小值为．

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17. 完成下面的证明：
已知，如图，∠C=∠D， ∠1=∠4．

求证：AC $∥$ DF．

证明：∵∠1=∠4（已知），

∠3=∠4（             ），

∴∠1＝∠3（               ）．

∴DB $∥$ CE（                 ）．

∴∠C＝∠DBA（                    ）．

又∵∠D=∠C（已知），

∴∠D＝∠DBA．

∴AC $∥$ DF（                    ）．

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三、解答题

18. 因式分解

(1)、 $a x^{2} - a y^{2}$ ；

(2)、 $2 x^{2} + 4 x + 2$ ．

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19. 计算：

(1)、 ${(3 + π)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + ｜ - 3 ｜$ ；

(2)、 ${(- 3 x)}^{2} \cdot (2 y) + x^{2} y$ ．

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20. 解不等式 $\frac{x + 3}{2} - \frac{x}{3} \geq x - 1$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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21. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 (x - 1) < 2 x ， \\ \frac{5 x + 3}{2} > x ， \end{array}$ 并写出所有整数解．

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22. 解方程组： ${\begin{array}{l} x - 3 y = 2 \\ 3 x + 2 y = 17 . \end{array}$

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23. 已知 $m^{2} - 2 m n - 1 = 0$ ，求代数式 ${(m - n)}^{2} + (m + n) (m - n) - m^{2}$ 的值．

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24. 列方程（组）解应用题：
平谷区某食用菌种植合作社将废弃树枝秸秆粉碎后制作成蘑菇菌棒．废菌棒经过高温灭虫后还田，生产性废料循环利用还可以改善土壤pH值（土壤酸碱度）和板结的情况，抑制杂草生长，改善蔬果口感．合作社积极鼓励村民用废弃树枝秸秆换取菌棒，培训推广科学种植菌菇技术，扩大种植规模，让更多的村民能够拥有一技之长，形成一条绿色循环生态产业链，实现生态效益与经济效益双赢．现合作社准备购进一批加工菌棒的设备，现有A，B两种型号的设备，经调查购买一台A型号的设备比购买一台B型号的设备多2万元；购买2台A型号的设备比购买3台B型号的设备少1万元．求A，B两种型号的设备每台各多少万元？

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25. 已知：如图，CF平分∠ACM，∠1=72°，∠2=36°，判断CM与DN是否平行，并说明理由．

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26. 2022年是中国共产主义青年团建团100周年．某校为了解七、八年级学生对中国共产主义青年团相关知识的掌握情况，从两个年级各随机抽取了20名学生进行问卷调查，过程如下，请补充完整．
a．七年级学生的成绩整理如下（单位：分）：
80   80   83   85   85   85   87   87   88   88
90   90   90   90   96   96   98   98   99   99
b．八年级学生成绩绘制出扇形统计图如下（数据分成四组：A． $80 \leq x < 85$ ， B． $85 \leq x < 90$ ， C． $90 \leq x < 95$ ， D． $95 \leq x \leq 100$ ）：
其中成绩在 $90 \leq x < 95$ 的数据如下（单位：分）：
90   90   90   91   92   92   93   93   93   94
c．两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
89.7
89
$n$
八年级
89.5
$m$
88
根据所给信息，解答下列问题：

(1)、 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角度数为；

(3)、若该校八年级共有300名学生，请你估算其中成绩不少于90分的学生约有多少人．

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27. 如图．点B是射线CA上一点，点D是射线CE上一点，DF $∥$ AC． $∠ 1 = ∠ 2$

(1)、试判断 $F B$ $∥ C E$ 吗？请说明理由．

(2)、用量角器作 $∠ F D C$ 的角平分线DG交 $F B$ 的延长线于点 $G$ ，过点 $D$ 作 $D M ⊥ D G$ 交射线 $C A$ 的反向延长线于点 $M$ ．
①补全图形；
②若 $∠ D M C = α$ ，用 $α$ 表示 $∠ F G D$ 为．

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28. 阅读下列材料：
我们知道对于二次三项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 可以利用完全平方公式，将它变形为 ${(a + b)}^{2}$ 的形式．但是对于一般的二次三项式 $x^{2} + b x + c$ 就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上原式中一次项系数的一半的平方即 $(\frac{b}{2})^{2}$ ，使其凑成完全平方式，再减去 $(\frac{b}{2})^{2}$ ，使整个式子的值不变，这样就有 $x^{2} + b x + c = {(x + \frac{b}{2})}^{2} + m$ ．例如 $x^{2} - 6 x + 1$ ＝ $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 1$ ＝ ${(x - 3)}^{2} - 8$ ．
请根据上述材料解决下列问题：

(1)、将多项式 $x^{2} - 4 x + 3$ 变形为 $(x + m)^{2} + n$ 的形式；

(2)、当x，y分别取何值时 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 28$ 有最小值？求出这个最小值；

(3)、若 $m = a^{2} + b^{2} - 1$ ， $n = 2 a - 4 b - 7$ ，则m与n的大小关系是．

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$7 x - 3 y = 50$	$x$	…	$- 1$	$2$	$5$	$8$	$11$	…
$7 x - 3 y = 50$	$y$	…	$- 19$	$- 12$	$- 5$	2	$9$	…
$8 x - y = 62$	$x$	…	$- 1$	$2$	$5$	$8$	$11$	…
$8 x - y = 62$	$y$	…	$- 70$	$- 46$	$- 22$	2	$26$	…

年级	平均数	中位数	众数
七年级	89.7	89	$n$
八年级	89.5	$m$	88