安徽省合肥市高新区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-08-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列各数中，无理数是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $3.14$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 在北京冬奥会的赛场上，石墨烯“温暖亮相”，向全世界展示中国自主研发的新型加热材料，也让身处冰雪赛场的人们多了一重温度保障、不畏严寒．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034米用科学记数法表示为（）

A、 $3.4 \times 10^{10}$ 米 B、 $3.4 \times 10^{- 9}$ 米 C、 $0.34 \times 10^{- 9}$ 米 D、 $3.4 \times 10^{- 10}$ 米

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{2} + x^{3} = x^{5}$ B、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{6}$ C、 $6 x^{6} \div 2 x^{2} = 3 x^{3}$ D、 $(- x^{2})^{3} = - x^{6}$

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4. 如果 $a < b$ ，那么下列各式中一定正确的是（）

A、 $a - 1 > b - 1$ B、 $- 2 a > - 2 b$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$

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5. 如图，在数轴上表示实数 $\sqrt{15}$ 的点可能（）．

A、点P B、点Q C、点M D、点N

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6. 下列分解因式正确的是（）

A、 $x^{2} - 3 x + 1 = x (x - 3) + 1$ B、 $x^{2} - 2 x + 1 = x (x - 2 + \frac{1}{x})$ C、 $(m + n)^{2} = m^{2} + 2 m n + n^{2}$ D、 $- a^{3} + a = - a (a + 1) (a - l)$

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7. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 2 \geq 0 \\ 1 + x > 3 (x - 1) \end{array}$ 所有整数解的和为（）

A、1 B、－1 C、0 D、2

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8. 如图，直线 $M E$ 分别与直线 $A B$ 、 $C D$ 相交于点M、E， $M N$ 平分 $∠ B M E$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = 110 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数是（）

A、 $35 °$ B、 $40 °$ C、 $45 °$ D、 $50 °$

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9. 在新冠肺炎疫情防控期间，某药房第一次用7000元购进一次性医用口罩若干个，第二次又用8000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次的1.2倍，且购进的数量比第一次少200个．设第一次购进一次性医用口罩的数量为x个，则根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{7000}{x - 200} = \frac{8000}{x} \times 1.2$ B、 $\frac{7000}{x + 200} \times 1.2 = \frac{8000}{x}$ C、 $\frac{7000}{x} \times 1.2 = \frac{8000}{x - 200}$ D、 $\frac{7000}{x} \times 1.2 = \frac{8000}{x + 200}$

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10. 若 $a = 2^{55}$ ， $b = 3^{44}$ ， $c = 4^{33}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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二、填空题

11. 3的平方根是

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12. 因式分解：-2x²+12x-18=.

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13. 如图，直线m∥n，一副直角三角板按如图所示放置，若 $∠ 1 = 20 °$ ， $∠ 2 = 30 °$ ， $∠ 3 = 45 °$ ，则 $∠ 4$ 的度数等于．

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14. 关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 2} + \frac{m}{2 - x} = - 1$ 的解是正数，则m的取值范围是．

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三、解答题

15. 计算：

(1)、 $\sqrt[3]{- 64} + (\frac{1}{2})^{- 1} - π^{0} + \sqrt{9}$ ；

(2)、 $4 x (x + 1) - (2 x - 1)^{2}$ ．

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16. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 5 x < 3 (x + 1) \\ \frac{x - 3}{2} \leq 2 + \frac{5}{3} x \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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17. 三角形 $A B C$ 在方格纸上的位置如图所示．

(1)、画出将三角形 $A B C$ 先向下平移三格，再向右平移 $2$ 格得到的三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、线段 $A A^{'}$ 与 $B B^{'}$ 的关系是；

(3)、若方格纸中的小正方形边长均为 $1$ ，求三角形 $A B C$ 的面积．

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18. 先化简，后求值： $(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1} - 1) \div \frac{x - 1}{x + 1}$ ，其中 $x$ 的值从 $- 1$ ， $0$ ， $1$ ， $2$ 中选一个合适的数．

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19. 观察下列等式：
① $1 - 1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{1 \times 2}$

② $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{4} - \frac{1}{3 \times 4}$

③ $\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{1}{6} - \frac{1}{5 \times 6}$

④ $\frac{1}{4} - \frac{1}{7} = \frac{1}{8} - \frac{1}{7 \times 8}$

⑤ $\frac{1}{5} - \frac{1}{9} = \frac{1}{10} - \frac{1}{9 \times 10}$

$\dots$

根据上述规律解决下列问题：

(1)、根据以上规律写出第⑥个等式：；

(2)、写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并说明等式的正确性．

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20. 如图 $1$ 是一个长为 $4 a$ ，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图 $2$ 的图形．

(1)、观察图形，请你写出 $(a + b)^{2}$ 、 $(a - b)^{2}$ 、 $a b$ 之间的等量关系式；

(2)、若 $x + \frac{1}{x} = 3$ ，利用（1）中的结论，求 $x - \frac{1}{x}$ 的值；

(3)、若 $(2021 - m) (2022 - m) = 4$ ，求 $(m - 2021)^{2} + (2022 - m)^{2}$ 的值．

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21. 知识链接：
①对于任意两个实数a，b，如果 $a - b > 0$ ，那么 $a > b$ ；如果 $a - b = 0$ ，那么 $a = b$ ；如果 $a - b < 0$ ，那么 $a < b$ ；
②任意实数 $a$ 的平方都是非负数，即 $a^{2} \geq 0$ ．
知识运用：

(1)、比较大小： $\frac{\sqrt{7}}{2}$ $\frac{5}{3}$ ；

(2)、已知a为实数， $A = (3 a - 2)^{2}$ ， $B = (2 a - 1) (4 a - 3) - 2 a$ ，请你比较A、B的大小；

(3)、已知x、y均为正数，比较 $x + 2 y$ 与 $\frac{8 x y}{x + 2 y}$ 的大小．

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22. 某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多 $5$ 元．用 $1200$ 元购买的故事书与用 $800$ 元购买的文学书数量相等．

(1)、求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？

(2)、若今年文学书的单价比去年提高了 $25 %$ ，故事书的单价比去年提高了 $20 %$ ，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共 $200$ 本．且购买文学书和故事书的总费用不超过 $3000$ 元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？

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23. 阅读理解：
如图1．已知： $A B ∥ C D$ ，点P是直线 $A B$ 、 $C D$ 之间的一点，点E、F分别在直线 $A B$ 、 $C D$ 上，则可推出 $∠ E P F = ∠ P E A + ∠ P F C$ ．

小明的思路是：过点P作 $P G ∥ A B$ ，通过平行线的性质可得结论 $∠ E P F = ∠ P E A + ∠ P F C$ ．

(1)、请根据小明的思路，写出完整的推理过程；

(2)、利用（1）中的结论解决问题：
如图2．已知： $A B ∥ C D$ ，点P是直线 $A B$ 、 $C D$ 之间的一点，点E、F分别在直线 $A B$ 、 $C D$ 上， $E M$ 是 $∠ A E P$ 的平分线． $F M$ 是 $∠ C F P$ 的平分线， $E N ⊥ E M$ ， $F N ⊥ F M$ ．

①若 $∠ E P F = 95 °$ ，求 $∠ E M F$ 的度数；

②试探究 $∠ E P F$ 与 $∠ E N F$ 之间的数量关系．

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