广东省广州市2023届高三上学期8月阶段测试数学试题

试卷更新日期：2022-08-17 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1. 若全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9}$ ， $A = {1 ， 2 ， 3 ， 5}$ ， $B = {1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 7 ， 8}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9}$ C、{9} D、 ${1 ， 2}$

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2. 若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x$ ， $a$ ， $b$ ， $y$ 成等差数列， $x$ ， $c$ ， $d$ ， $y$ 成等比数列，则 $\frac{{(a + b)}^{2}}{c d}$ 的最小值是（）

A、0 B、1 C、2 D、4

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3. 记 $p ：$ “方程 $(m - 1) x^{2} + (3 - m) y^{2} = 1$ 表示椭圆”， $q ：$ “函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + (m - 2) x^{2} + x$ 无极值”，则p是q的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 如图，2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处都有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体有24个顶点，且棱长为1，则该多面体的表面积是（）

A、 $6 + 12 \sqrt{3}$ B、 $8 + 12 \sqrt{3}$ C、 $6 + 9 \sqrt{3}$ D、 $8 + 9 \sqrt{3}$

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5. 4名同学各掷了5次骰子，分别记录每次骰子出现的点数．若下列是根据4名同学各自的统计结果的数字特征，则可以判断出一定没有出现点数6的是（）

A、平均数为3，中位数为2 B、中位数为3，众数为2 C、中位数为3，方差为2.8 D、平均数为2，方差为2.4

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6. ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \cdot \cdot \cdot + {(1 + x)}^{9}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数是（）

A、45 B、84 C、120 D、210

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7. 若空间中经过定点O的三个平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ 两两垂直，过另一定点A作直线l与这三个平面的夹角都相等，过定点A作平面 $δ$ 和这三个平面所夹的锐二面角都相等．记所作直线l的条数为m，所作平面 $δ$ 的个数为n，则 $m + n =$ （）

A、4 B、8 C、12 D、16

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8. 设 $a = \ln 1.1$ ， $b = e^{0.1} - 1$ ， $c = \tan 0.1$ ， $d = \frac{0.4}{π}$ ，则（）

A、 $a < b < c < d$ B、 $a < c < b < d$ C、 $a < b < d < c$ D、 $a < c < d < b$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

9. 18世纪末期，挪威测量学家韦塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如 $| z | = | \vec{O Z} |$ ，也即复数的模的几何意义为z对应的点z到原点O的距离．下列说法正确的有（）

A、若 $| z | = 1$ ，则 $z = \pm 1$ 或 $z = \pm i$ B、复数 $6 + 5 i$ 与 $- 3 + 4 i$ 分别对应向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ ，则向量 $\vec{B A}$ 对应的复数为 $9 + i$ C、若点Z的坐标为 $(- 1 ， 1)$ ，则 $\bar{z}$ 对应的点在第三象限 D、若复数z满足 $1 \leq | z | \leq \sqrt{2}$ ，则复数z对应的点所构成的图形面积为 $π$

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10. 若 $f (x) = | \sin x | + | \cos x |$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、方程 $x = - \frac{π}{2}$ 是 $f (x)$ 的一条对称轴 C、 $f (x)$ 的值域为 $[1 ， \sqrt{2}]$ D、 $\exists a$ ， $b > 0$ ，对 $\forall x \in R$ 都满足 $f (x + a) + f (a - x) = 2 b$ ，（a，b是实常数）

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 上的四点 $A (2 ， 2)$ ， B，C，P，直线AB，AC是圆 $M ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，直线PQ、PR与圆M分别切于点Q、R，则下列说法正确的有（）

A、当劣弧QR的弧长最短时， $\cos ∠ Q P R = - \frac{1}{3}$ B、当劣弧QR的弧长最短时， $\cos ∠ Q P R = \frac{1}{3}$ C、直线BC的方程为 $x + 2 y + 1 = 0$ D、直线BC的方程为 $3 x + 6 y + 4 = 0$

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12. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R，对任意的 $x$ ， $y \in R$ ，恒有 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) \cdot f (y)$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f^{'} (x)$ 必有奇函数 C、 $f (x) + f (0) \geq 0$ D、若 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sum_{x = 1}^{2003} f (n) = \frac{1}{2}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \frac{3}{2}$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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14. 若角 $α$ 的终边经过点 $P (\sin 70 ° ， \cos 70 °)$ ，且 $\tan α + \tan 2 α + m \tan α \cdot \tan 2 α = \sqrt{3}$ ，则实数 $m =$ ．

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15. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (4 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 6) = 5 P (ξ < 2)$ ，则 $P (2 < ξ < 6) =$ ．

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16. 折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸．课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠．若折痕（线段）将纸片分为面积比为1：3的两部分，则折痕长度的取值范围是cm．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．

17. 已知集合 $A = {x | x = 2 n - 1 ， n \in N^{*}}$ ， $B = {x | x = 3^{n} ， n \in N^{*}}$ ，将A与B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列 ${a_{n}}$ （若有相同元素，按重复方式计入排列）为1，3，3，5，7，9，9，11，…．设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．

(1)、若 $a_{m} = 27$ ，求m的值；

(2)、求 $S_{50}$ 的值．

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18. 某校所在省市高考采用新高考模式，学生按“

3 + 1 + 2

”模式选科参加高考：“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目；“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科目．

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、为摸清该校本届考生的选科意愿，从本届750位学生中随机抽样调查了100位学生，得到如下部分数据分布：

	选物理方向	选历史方向	合计
男生	30		40
女生
合计	50		100

请在答题卡的本题表格中填好上表中余下的5个空，并判断是否有99.9% 的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关；

(2)、记已选物理方向的甲、乙两同学在“4选2”的选科中所选的相同的选科门数为

ξ

，求

ξ

的分布列及数学期望．

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19. 在 $△ A B C$ 中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $(a + b) b = c^{2}$ ．

(1)、求证： $C = 2 B$ ；

(2)、求 $\frac{a + 4 b}{b \cos B}$ 的最小值．

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} B C ⊥$ 侧面 $A_{1} A B B_{1}$ ．

(1)、求证： $A B ⊥ B C$ ；

(2)、若直线AC与平面 $A_{1} B C$ 所成的角为 $θ$ ，二面角 $A_{1} - B C - A$ 的大小为 $φ$ ，试判断 $θ$ 与 $φ$ 的大小关系，并予以证明．

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21. 设 $f (x) = e^{x} \sin x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $[- π ， π]$ 上的极值；

(2)、若对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [0 ， π]$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}} + a > 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知双曲线 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} = \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ ，经过双曲线 $Γ$ 上的点 $A (2 ， 1)$ 作互相垂直的直线AM、AN分别交双曲线 $Γ$ 于M、N两点．设线段AM、AN的中点分别为B、C，直线OB、OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为 $- \frac{1}{4}$ ．

(1)、求双曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、过点A作 $A D ⊥ M N$ （D为垂足），请问：是否存在定点E，使得 $| D E |$ 为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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