浙江省台州市十校联盟2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-08-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $P (1 ， 2 ， 3)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(1 ， 2 ， 3)$ B、 $(- 1 ， 2 ， 3)$ C、 $(1 ， - 2 ， 3)$ D、 $(- 1 ， - 2 ， - 3)$

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2. 已知直线l经过点 $A (- 2 ， 3)$ ，且它的倾斜角等于直线 $y = x$ 的倾斜角的2倍，则直线l方程为（）

A、 $y = 2 x + 7$ B、 $y = - 2 x - 1$ C、 $x = - 2$ D、 $y = 3$

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3. 直线 $x - \sqrt{3} y + m = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（）

A、 $- 2 \leq m \leq 2$ B、 $- 2 < m < 2$ C、 $m < - 2$ 或 $m > 2$ D、 $m \leq - 2$ 或 $m \geq 2$

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4. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1 ， n)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 直线 $l_{1} ： (a - 1) x + y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： 4 x + (a + 2) y - 1 = 0$ ，则“ $a = 2$ ”是“ $l_{1} / / l_{2}$ ”的（）条件

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 在四面体 $O A B C$ 中 $M ， N$ 分别是 $O A ， B C$ 的中点，P是 $M N$ 的三等分点（靠近点N），若 $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{O P} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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7. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一条弦所在的直线方程是 $2 x + y - 9 = 0$ ，弦的中点坐标是 $M (4 ， 1)$ ，则椭圆C的离心率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知 $∠ A C B = 60 °$ ， P为平面ABC外一点， $P C = 2$ ，点P到 $∠ A C B$ 两边AC，BC的距离均为 $\sqrt{3}$ ，那么点P到平面ABC的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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二、多选题

9. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（）

A、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 与空间任意向量都不能构成基底，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则有 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ C、若 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 是空间的一组基底，且 $\vec{O D} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ ，则A，B，C，D四点共面 D、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是空间的一组基底，则 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{c} - \vec{b}$ ， $\vec{c} + \vec{a}$ 也是空间的一组基底

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10. 以下四个命题表述正确的有（）

A、经过点 $(1 ， 1)$ 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$ B、直线 $(3 + m) x + y - 3 - m = 0 (m \in R)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 一定相交 C、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上存在2个点到直线 $l ： x - y + \sqrt{2} = 0$ 的距离都等于3 D、曲线 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 4$ 与曲线 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + m = 0$ 恰有三条公切线，则 $m = 16$

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的左、右两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，P为椭圆上一动点， $M (1 ， 1)$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为8 B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的最大面积为 $2 \sqrt{2}$ C、存在点P使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ D、 $| P M | + | P F_{1} |$ 的最大值为5

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在线段 $B_{1} C$ 上运动，则下列结论正确的有（）

A、直线 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、三棱锥 $P - A_{1} D B$ 体积为定值 C、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ D、直线 $C_{1} P$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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三、填空题

13. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 $B (- 1 ， 0)$ ，若将军从山脚下的点 $O (0 ， 0)$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $x + y = 3$ ，则“将军饮马”的最短总路程是.

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14. 已知直线 $l ： m x - y + 1 - 4 m = 0 (m \in R)$ 与圆 $C ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$ 交于两点P，Q，则弦长 $| P Q |$ 的取值范围是.

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15. 如图，椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $A (2 ， 0)$ 作椭圆的切线，切点为T，若M为x轴上的点，满足 $∠ A T M = ∠ A F_{1} T$ ，则点M的坐标为.

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16. 已知空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ， $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{c} | = 8$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{c} = 4$ ， $\vec{b} \cdot \vec{c} = 5$ .则对任意的实数 $λ_{1}$ ， $λ_{2}$ ， $| \vec{c} - (λ_{1} \vec{a} + λ_{2} \vec{b}) |$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知平面内两点 $A (8 ， - 6)$ 、 $B (2 ， 2)$ .

(1)、求 $A B$ 的中垂线方程；

(2)、直线 $l$ 平行于直线 $A B$ ，且点 $Q (2 ， - 3)$ 到直线 $l$ 的距离为3，求直线 $l$ 的方程.

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18. 已知空间三点 $A (0 ， 2 ， 3)$ ， $B (- 2 ， 1 ， 4)$ ， $C (1 ， - 2 ， 1)$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若向量 $\vec{C D} ∥ \vec{A B}$ ，且 $| \vec{C D} | = 2 \sqrt{6}$ ，求向量 $\vec{C D}$ 的坐标.

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19. 如图，在四棱锥P-ABCD中， $P A ⊥$ 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中 $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ， $P A = 4$ ，点E、Q分别在棱BC、CP上，且 $\vec{B E} = \frac{1}{4} \vec{B C}$ ， $\vec{C Q} = \frac{2}{3} \vec{C P}$ .

(1)、求证： $D E ⊥$ 平面PAC；

(2)、求直线QE与平面PAC所成角的正弦值.

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20. 平面内，动点M与两个定点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 的距离之比为 $\frac{1}{3}$ ，记动点M的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、若直线 $l ： y = x + 1$ 与曲线C交于D，E两点，求线段DE的长.

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21. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是等腰梯形， $∠ D A B = 60 °$ ， $A B = 2 C D = 2$ ， M是线段AB的中点.

(1)、求证： $C_{1} M / /$ 平面 $A_{1} A D D_{1}$ ；

(2)、若 $C D_{1}$ 垂直于平面ABCD且 $C D_{1} = \sqrt{3}$ ，求平面 $C_{1} D_{1} M$ 和平面ABCD所成的角的余弦值.

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22. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，过点 $A (0 ， - b)$ 和 $B (a ， 0)$ 的直线与原点的距离为 $\frac{2 \sqrt{21}}{7}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、已知定点 $E (- 1 ， 0)$ ，若直线 $y = k x + 2 (k \neq 0)$ 与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由.

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