浙江省衢温“5 1”联盟2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-08-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 1}$ ， $B = {x | x (x - 2) < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 0}$ B、 ${x | 0 < x < 1}$ C、 ${x | 1 < x < 2}$ D、 ${x | - 1 < x < 2}$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，若 $z = 1 + i$ ，则 $\frac{z}{1 - z} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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3. 若经过 $A (m ， 3)$ ， $B (- 1 ， 4)$ 两点的直线的倾斜角为45°，则 $m$ 等于（）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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4. 已知 $l$ ， $m$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 为两个不同平面，则下面四个命题中，正确的命题是（）

A、若 $l // m$ ， $m \subset α$ ，则 $l // α$ B、若 $l ⊥ m$ ， $m \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $m \subset α$ ， $l // β$ ， $l // m$ ，则 $α // β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $l // β$ ， $l // m$ ，则 $α ⊥ β$

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5. “直线 $m x - y - 1 = 0$ 与直线 $(m + 1) x + 2 y - 2 = 0$ 垂直”是“ $m = - 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ ，为了得到函数 $g (x) = c o s (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象只需将 $y = f (x)$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位

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7. 已知在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $P A = 3$ ，侧棱与底面所成角为 $α$ ，侧面与底面所成角为 $β$ ，二面角 $A - P B - C$ 的平面角为 $θ$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $β < α < θ$ B、 $α < θ < β$ C、 $c o s θ + c o s^{2} β = 0$ D、 $c o s θ + c o s^{2} α = 0$

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8. 在坐标平面 $x O y$ 上有一运动着的梯形 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $∠ A = 90 °$ ， $∠ C = 45 °$ ， $A B = A D = 2 \sqrt{2}$ ，该梯形在运动过程中始终满足 $| O A | + | O B | = 2 \sqrt{3}$ ，则原点 $O$ 到直线 $C D$ 的最短距离为（）

A、 $3 + \sqrt{2}$ B、 $3 - \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2} + 2$ D、 $3 \sqrt{2} - 2$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (- 3 ， 4)$ ， $\vec{b} = (7 ， - 1)$ ，下列结论正确的是（）

A、 $| \vec{a} | = 5$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 25$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为45° D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量 $\vec{c} = (3 ， - 4)$

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10. 甲袋中有5个红球15个白球，乙袋中有5个红球5个白球，从两袋中各摸出一个球.下列结论正确的是（）

A、2个球都是红球的概率为 $\frac{1}{8}$ B、2个球不都是红球的概率为 $\frac{3}{8}$ C、至少有1个红球的概率为 $\frac{5}{8}$ D、2个球中恰有1个红球的概率为 $\frac{3}{8}$

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11. 下列四个选项中的多边形均为正多边形， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆的两个焦点，椭圆与正多边形的交点为正多边形各边中点.则离心率大于0.7的椭圆有（）

A、 B、 C、 D、

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12. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点，将 $△ A B M$ 沿 $A M$ 翻折成 $△ A B_{1} M$ ，接 $B_{1} C$ 和 $B_{1} D$ ， $N$ 为 $B_{1} D$ 的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A、 $A M ⊥ B_{1} C$ B、 $A B_{1}$ 与 $C N$ 的夹角为定值 $\frac{π}{3}$ C、三棱锥 $B_{1} - A M D$ 体积最大值为 $\frac{1}{3}$ D、线段 $C N$ 的轨迹是圆锥的侧面

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三、填空题

13. 已知双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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14. 已知函数 $f (x) = (m \cdot 2^{x} + 2^{- x}) \cdot x$ 为偶函数，则 $m$ 的值为.

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15. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ ， $P$ 为抛物线 $C$ 上的任意一点，以 $P$ 为圆心的圆始终与直线 $x = - 1$ 相切，则圆 $P$ 过定点.

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16. 已知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 > b > 5)$ ， $A (- 4 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 0)$ ，椭圆 $C$ 上存在一点 $P$ 使得 $| P A | = 2 | P B |$ ，则实数 $b$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a s i n A + b s i n C = c s i n C + b s i n B$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、求 $s i n B + s i n C$ 的取值范围.

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18. 已知圆 $C$ 的圆心坐标为 $(2 ， 1)$ ，且点 $P (- 1 ， - 3)$ 在圆 $C$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $y = k x + m - 2 k$ 与圆相交于 $A$ ､ $B$ 两点，当 $k$ 变化时，线段 $A B$ 的最小值为6，求 $m$ 的值.

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19. 新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在 $[70 ， 90]$ 的居民有2200人.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值及所调查的总人数；

(2)、从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数､中位数和平均数（精确到0.1）.

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $A_{1}$ 在平面 $A B C$ 内的射影 $D$ 为线段 $A C$ 的中点， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 1$ ， $A C = C C_{1} = 2$ .

(1)、证明： $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、求直线 $B_{1} D$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的所成角的正弦值.

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21. 已知点 $F (1 ， 0)$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $O$ 为坐标原点，过点 $F$ 的直线 $l_{1}$ 交抛物线与 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的值；

(3)、如图，过点 $F$ 的直线 $l_{2}$ 交抛物线于 $C$ ， $D$ 两点（点 $A$ ， $C$ 在 $x$ 轴的同侧， $x_{A} > x_{C}$ ），且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，直线 $A C$ 与直线 $B D$ 的交点为 $E$ ，记 $△ E F C$ ， $△ A C F$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = | 1 - \frac{1}{x} |$

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域与单调区间（不需要证明）；

(2)、存在正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a \neq b$ 且 $f (a) = f (b)$ ，求 $2 a + b$ 的取值范围；

(3)、若 $x \in [1 ， 6]$ ，函数 $h (x) = m a x {e^{f (\frac{1}{2 a - x})} ， e^{f (\frac{1}{a - x})}}$ ，求 $h (x)$ 的最小值.

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