浙江省杭州市八校联盟2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-08-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若直线的斜率是1，则其倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $90 °$

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2. 已知 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， 2 ， x)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $- \frac{10}{3}$ C、6 D、-6

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3. 已知一组数据为20，30，40，50，50，50，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（）

A、平均数＝第60百分位数＞众数 B、平均数＜第60百分位数＝众数 C、第60百分位数＝众数＜平均数 D、平均数＝第60百分位数＝众数

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4. 为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对 $A$ 地区随机选取 $n$ 个居民进行了环保知识问卷调查（满分为100分），并根据问卷成绩（不低于60分记为及格）绘制成如图所示的频率分布直方图（分为 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 六组），若问卷成绩最后三组频数之和为360，则下面结论中不正确的是（）

A、 $n = 480$ B、问卷成绩在 $[70 ， 80)$ 内的频率为0.3 C、 $a = 0.030$ D、以样本估计总体，若对 $A$ 地区5000人进行问卷调查，则约有1250人不及格

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5. 甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件 $A =$ “甲成功破译”，事件 $B =$ “乙成功破译”，则表示“密码被成功破译”的事件为（）

A、 $A ∪ B$ B、 $A ∩ B$ C、 $\bar{A} ∪ \bar{B}$ D、 $\bar{A} ∩ \bar{B}$

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6. 直线 $l_{1} ： a x - y + b = 0$ 与 $l_{2} ： b x - y + a = 0$ （其中 $a \neq 0$ ， $b \neq 0$ ， $a \neq b$ ），在同一坐标系中的图象是下图中的（）

A、 B、 C、 D、

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7. 在二面角的棱上有两个点 $A$ 、 $B$ ，线段 $A C$ 、 $B D$ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 $A B$ ，若 $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $B D = 3$ ， $C D = 2 \sqrt{2}$ ，则这个二面角的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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8. 如图，已知电路中有5个开关，开关 $S_{5}$ 闭合的概率为 $\frac{1}{3}$ ，其它开关闭合的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{15}{16}$ C、 $\frac{23}{24}$ D、 $\frac{4}{5}$

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二、多选题

9. 已知直线 $l$ ： $x - a y + 1 = 0 (a \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 过定点 $(- 1 ， 0)$ B、直线 $l$ 与直线 $l^{'}$ ： $x - a y + 2 = 0$ 一定平行 C、直线 $l$ 一定不与坐标轴垂直 D、直线 $l$ 与直线 $l_{1}$ ： $a x + y + m = 0 (m \in R)$ 一定垂直

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10. 下面四个结论正确的是（）

A、向量 $\vec{a} ， \vec{b} (\vec{a} \neq 0 ， \vec{b} \neq 0)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、若空间四个点 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $\vec{P C} = \frac{1}{4} \vec{P A} + \frac{3}{4} \vec{P B}$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线 C、已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， x)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， x ， 4)$ ，若 $x < \frac{2}{5}$ ，则 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩$ 为钝角 D、任意向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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11. 甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：
甲
0
1
0
2
2
0
3
1
2
4
乙
2
3
1
1
0
2
1
1
0
1
则下列叙述正确的是（）

A、甲机床出现的次品数较少 B、乙机床出现的次品数较少 C、甲机床性能更好 D、乙机床性能更好

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12. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1}$ ， $∠ D A B = ∠ D A A_{1} = ∠ B A A_{1} = 60 °$ ，点 $M$ ， $N$ 是棱 $D_{1} C_{1}$ ， $C_{1} B_{1}$ 的中点，则下列说法中正确的是（）

A、 $M N ⊥ A C_{1}$ B、向量 $\vec{A M}$ ， $\vec{B C}$ ， $\vec{B B_{1}}$ 共面 C、 $C A_{1} ⊥$ 平面 $C_{1} B D$ D、 $D M$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{42}}{21}$

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三、填空题

13. 某中学高一年级有420人，高二年级有460人，高三年级有500人，用分层抽样的方法抽取部分样本，若从高一年级抽取21人，则从高三年级抽取的人数是．

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14. 直线 $3 x - 4 y + 12 = 0$ 在 $x$ 轴上的截距是．

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15. 若 $A$ 、 $B$ 互为对立事件，其概率分别为 $P (A) = x$ ， $P (B) = y$ ，且 $x > 0$ ， $y > 0$ ，则 $\frac{y}{x + 1}$ 的取值范围为．

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16. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A C = B D = C D = 3$ ， $A D = B C = 2$ ，点 $M$ 是 $A D$ 的中点，点 $N$ 是线段 $B C$ 的一个三等分点（靠近 $B$ 点），则 $| M N | =$ ．

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四、解答题

17. 抛掷三枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况．

(1)、写出试验的样本空间；

(2)、若正面朝上时得2分，反面朝上时得1分，求一次试验中总得分为4分的概率．

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18. 从高三年级抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图．
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图估计：

(1)、这50名学生成绩的众数与中位数；

(2)、这50名学生的平均成绩．

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19. $△ A B C$ 的三个顶点是 $A (4 ， 0)$ ， $B (6 ， 7)$ ， $C (0 ， 3)$ ，求：

(1)、直线 $A C$ 的方程；

(2)、边 $B C$ 上的高所在直线的方程．

(3)、求一点 $D$ ，使得四边形 $A B C D$ 为平行四边形．

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20. 在正四面体 $O A B C$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是 $O A$ ， $A B$ ， $B C$ ， $O C$ 的中点．设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{E F}$ ， $\vec{F G}$ ；

(2)、求证： $E F ⊥ F G$ ；

(3)、求证： $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 四点共面．

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21. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.已知甲每轮猜对的概率是 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率是 $\frac{2}{3}$ .每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响，“星队”共参加两轮猜成语活动.

(1)、求“星队”在第一轮活动中只猜对1个成语的概率；

(2)、求“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率.

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的菱形， $∠ B A D = 120 °$ ，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = 2 \sqrt{6}$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $P B$ ， $P D$ 的中点．

(1)、求直线 $P M$ 与平面 $A M N$ 所成角的正弦值；

(2)、求三棱锥 $D - A M N$ 的体积；

(3)、在线段 $P C$ 上是否存在一点 $Q$ ，使得平面 $A M N$ 与平面 $Q M N$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{33}}{33}$ ？

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甲	0	1	0	2	2	0	3	1	2	4
乙	2	3	1	1	0	2	1	1	0	1