浙江省杭州地区(含周边)重点中学2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷
试卷更新日期:2022-08-17 类型:期中考试
一、单选题
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1. 直线的倾斜角为 ( )A、 B、 C、 D、2. 若复数(为虚数单位),则=( )A、 B、 C、 D、3. 如图,在四面体中,是棱上靠近的三等分点,分别是的中点,设 , , , 用 , , 表示 , 则 ( )A、 B、 C、 D、4. 两条平行直线和间的距离为 , 则 , 分别为( )A、 , B、 , C、 , D、 ,5. 设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则能得出的是( )A、 , , B、 , , C、 , , D、 , ,6. 如图,已知圆锥的底面半径为2,母线长为4,为圆锥底面圆的直径,是的中点,是母线的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )A、 B、 C、 D、7. 已知平面向量 , , , 满足 , 与的夹角为 , 且 , 则的最小值为( )A、 B、1 C、 D、8. 在矩形中, , 为的中点,将和沿翻折,使点与点重合于点 , 若 , 则三棱锥的外接球的表面积为( )A、12π B、17π C、24π D、68π
二、多选题
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9. 已知直线 , 其中 , 下列说法正确的是( )A、当时,直线与直线垂直 B、若直线与直线平行,则 C、直线的倾斜角一定大于30° D、当时,直线在两坐标轴上的截距相等10. 圆和圆相交于两点,则有( )A、公共弦所在直线方程为 B、圆到直线距离等于1的点有2个 C、公共弦的长为 D、为圆上的一个动点,则到直线距离的最大值为11. 有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 ( )A、甲与丙相互独立 B、甲与丁相互独立 C、乙与丙相互独立 D、乙与丁相互独立12. 如图,若正方体的棱长为1,点是正方体的侧面上的一个动点(含边界),是棱的中点,则下列结论正确的是( )A、沿正方体的表面从点A到点的最短路程为 B、若保持 , 则点在侧面内运动路径的长度为 C、三棱锥的体积最大值为 D、若点在上运动,则到直线的距离的最小值为
三、填空题
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13. 费马大定理又称为“费马最后定理”,由17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出,他断言当时,关于 , , 的方程没有正整数解.他提出后,历经多人猜想辩证,最终在1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明.某同学对这个问题很感兴趣,决定从1,2,3,4,5,6这6个自然数中随机选一个数字作为方程中的指数 , 方程存在正整数解的概率为 .14. 若复数(i是虚数单位)是关于的方程的一个根,则=.15. 由10个实数组成的一组数据,方差为 , 将其中一个数3改为1,另一个数6改为8,其余的数不变,得到新的一组数,方差为 , 则.16. 如图,在四棱台中, , , 则的最小值为.
四、解答题
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17. 在中,已知角所对应的边分别为 , 且 , , 是线段上一点,且满足.(1)、求的面积;(2)、求的长.18. 第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行,志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并分成五组:第一组 ,第二组 ,第三组 ,第四组 ,第五组 ,绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7,第一组和第五组的频率相同.(1)、求 的值;(2)、估计这100名候选者面试成绩的众数,平均数和第60%分位数(分位数精确到0.1);(3)、在第四、第五两组志愿者中,现采用分层抽样的方法,从中抽取5人,然后再从这5人中选出2人,以确定组长人选,求选出的两人来自不同组的概率.19. 如图,平行六面体中, , , ,(1)、求对角线的长度;(2)、求二面角的余弦值.