浙江省杭州地区（含周边）重点中学2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-08-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $6 0^{∘}$ C、 $12 0^{∘}$ D、 $150 °$

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2. 若复数 $Z = \frac{1 + 3 i}{1 - i}$ ( $i$ 为虚数单位)，则 $| Z |$ =（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $M$ 是棱 $O A$ 上靠近 $A$ 的三等分点， $N ， P$ 分别是 $B C ， M N$ 的中点，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{O P}$ ，则（）

A、 $\vec{O P} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ B、 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ C、 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

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4. 两条平行直线 $2 x - y + 3 = 0$ 和 $a x - 3 y + 4 = 0$ 间的距离为 $d$ ，则 $a$ ， $d$ 分别为（）

A、 $a = 6$ ， $d = \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $a = - 6$ ， $d = \frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $a = - 6$ ， $d = \frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $a = 6$ ， $d = \frac{\sqrt{5}}{3}$

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5. 设 $l$ ､ $m$ 是两条不同的直线， $α$ ､ $β$ 是两个不同的平面，则能得出 $l ⊥ m$ 的是（）

A、 $l ⊥ α$ ， $m ∥ β$ ， $α ⊥ β$ B、 $l ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ， $α ∥ β$ C、 $l \subset α$ ， $m ⊥ β$ ， $α ∥ β$ D、 $l \subset α$ ， $m ∥ β$ ， $α ⊥ β$

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6. 如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4， $A B$ 为圆锥底面圆的直径， $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点， $D$ 是母线 $S A$ 的中点，则异面直线 $S C$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{20}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $6 0^{∘}$ ，且 ${\vec{c}}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{c} + 3 = 0$ ，则 $| \vec{b} + \vec{c} |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3} - 1$

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8. 在矩形 $A B C D$ 中， $B C = 2$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点，将 $△ A B M$ 和 $△ D C M$ 沿 $A M ， D M$ 翻折，使点 $B$ 与点 $C$ 重合于点 $P$ ，若 $∠ A P D = 150 °$ ，则三棱锥 $M - P A D$ 的外接球的表面积为（）

A、12π B、17π C、24π D、68π

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二、多选题

9. 已知直线 $l ： (a^{2} + a + 1) x - y + 1 = 0$ ，其中 $a \in R$ ，下列说法正确的是（）

A、当 $a = - 1$ 时，直线 $l$ 与直线 $x + y = 0$ 垂直 B、若直线 $l$ 与直线 $x - y = 0$ 平行，则 $a = 0$ C、直线 $l$ 的倾斜角一定大于30° D、当 $a = 0$ 时，直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等

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10. 圆 $O_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $O_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 相交于 $A ， B$ 两点，则有（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线方程为 $x - y = 0$ B、圆 $O_{2}$ 到直线 $A B$ 距离等于1的点有2个 C、公共弦 $A B$ 的长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $P$ 为圆 $O_{1}$ 上的一个动点，则 $P$ 到直线 $A B$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

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11. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）

A、甲与丙相互独立 B、甲与丁相互独立 C、乙与丙相互独立 D、乙与丁相互独立

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12. 如图，若正方体的棱长为1，点 $M$ 是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上的一个动点(含边界)， $P$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、沿正方体的表面从点A到点 $P$ 的最短路程为 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、若保持 $| P M | = \sqrt{2}$ ，则点 $M$ 在侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 内运动路径的长度为 $\frac{π}{3}$ C、三棱锥 $B - C_{1} M D$ 的体积最大值为 $\frac{1}{6}$ D、若点 $M$ 在 $A_{1} D$ 上运动，则 $D_{1}$ 到直线 $P M$ 的距离的最小值为 $\frac{2}{3}$

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三、填空题

13. 费马大定理又称为“费马最后定理”，由17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出，他断言当 $n > 2$ 时，关于 $x$ ， $y$ ， $z$ 的方程 $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ 没有正整数解．他提出后，历经多人猜想辩证，最终在1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．某同学对这个问题很感兴趣，决定从1，2，3，4，5，6这6个自然数中随机选一个数字作为方程 $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ 中的指数 $n$ ，方程 $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ 存在正整数解的概率为．

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14. 若复数 $z = 1 - 2 i$ （i是虚数单位）是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p ， q \in R)$ 的一个根，则 $p + q$ =.

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15. 由10个实数组成的一组数据，方差为 $S_{1}^{2}$ ，将其中一个数3改为1，另一个数6改为8，其余的数不变，得到新的一组数，方差为 $S_{2}^{2}$ ，则 $S_{2}^{2} - S_{1}^{2} =$ .

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16. 如图，在四棱台 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A A^{'} = 3$ ， $∠ B A D = ∠ B A A^{'} = ∠ D A A^{'} = 6 0^{∘}$ ，则 $| \vec{A C^{'}} - (x \vec{A B} + y \vec{A D}) | (x ， y \in R)$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，已知角 $A ， B ， C$ 所对应的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a = 2 ， b = 1$ ， $c = \sqrt{7}$ ， $D$ 是线段 $A B$ 上一点，且满足 $A D = 2 D B$ .

(1)、求 $△ B D C$ 的面积；

(2)、求 $C D$ 的长.

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18. 第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45 ， 55)$ ，第二组 $[55 ， 65)$ ，第三组 $[65 ， 75)$ ，第四组 $[75 ， 85)$ ，第五组 $[85 ， 95)$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、估计这100名候选者面试成绩的众数，平均数和第60%分位数（分位数精确到0.1)；

(3)、在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.

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19. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $C B ⊥ B D$ ， $∠ C_{1} C D = 4 5^{∘} ， ∠ C_{1} C B = 6 0^{∘}$ ， $C C_{1} = C B = B D = 1$ ，

(1)、求对角线 $C A_{1}$ 的长度；

(2)、求二面角 $C - B D - C_{1}$ 的余弦值.

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20. 已知直线 $l_{1}$ 的方程为： $a x + y - a - 2 = 0 (a > 0)$ ，分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于 $A ， B$ 两点，

(1)、求原点到直线 $l_{1}$ 距离的最大值及此时直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若 $a$ 为常数，直线 $l_{2} ： m x + n y = 1 (m ， n \in R)$ 与线段 $A B$ 有一个公共点，求 $\sqrt{m^{2} + n^{2}}$ 的最小值 $f (a)$ .

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，且 $∠ B A P = ∠ C D P = 9 0^{∘}$ ，

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $△ P A D$ 是等边三角形，底面 $A B C D$ 是边长为3的正方形， $E$ 是 $P A$ 中点，求直线 $B E$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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22. 已知圆 $C$ 的方程为： $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = r^{2} (r > 0)$

(1)、已知过点 $M (\frac{1}{2} ， - \frac{5}{2})$ 的直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点，若 $r = 1$ ， $| A B | = \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、如图，过点 $N (- 1 ， 1)$ 作两条直线分别交抛物线 $y = x^{2}$ 于点 $P$ ， $Q$ ，并且都与动圆 $C$ 相切，求证：直线 $P Q$ 经过定点，并求出定点坐标.

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