浙江省北斗联盟2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-08-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x - y = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $6 0^{∘}$ B、 $4 5^{∘}$ C、 $9 0^{∘}$ D、 $13 5^{∘}$

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2. 已知复数 $z = 2 - i ， \bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $\frac{2}{\bar{z} + i} =$ （）

A、 $\frac{1 - i}{2}$ B、 $\frac{1 + 3 i}{4}$ C、 $\frac{3 - 3 i}{4}$ D、 $\frac{3 + 3 i}{4}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (4, 4, 5)$ ， $\vec{b} = (- 7, x, y)$ 分别是直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的方向向量，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则下列几组解中可能正确的是（）

A、 $x = 2, y = 4$ B、 $x = 4, y = 3$ C、 $x = 1, y = 3$ D、 $x = 6, y = 2$

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4. 已知点 $M (- 1 ， 2)$ ，点 $P (x ， y)$ 在直线 $2 x + y - 1 = 0$ 上，则|MP|的最小值是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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5. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{3}{16}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{13}{16}$

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6. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + x ， g (x) = l o g_{2} x + x ， h (x) = x^{3} + x$ 的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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7. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E 、 F$ 分别是棱 $A B$ 、 $B C$ 的中点，则点 $C_{1}$ 到平面 $B_{1} E F$ 的距离等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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8. 在如图所示的平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，已知 $A B = A A^{^{'}} = A D$ ， $∠ B A D = ∠ B A A^{'} = ∠ D A A^{'} = 60 °$ ， $\vec{B M} = \frac{1}{4} \vec{B C}$ ， N为 $C^{^{'}} D^{^{'}}$ 上一点，且 $\vec{D^{'} N} = λ \vec{D^{'} C^{'}}$ ，若 $D M ⊥ A N$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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二、多选题

9. 有一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{n}$ 和一组样本数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ，…， $y_{n}$ ，如果 $y_{1} = x_{1} + b$ ， $y_{2} = x_{2} + b$ ，…， $y_{n} = x_{n} + b$ ，其中 $b$ 为非零常数，则（）

A、两组样本数据的样本平均数相同 B、两组样本数据的样本方差相同 C、两组样本数据的样本中位数相同 D、两组样本数据的样本极差相同

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10. 一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（）

A、“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B、“至少有1件次品?和“都是次品” C、“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D、“至少有1件次品”和“都是正品”

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11. 已知函数 $f (x) = 4 \sqrt{3} \sin \frac{3}{2} x \cos \frac{3}{2} x + 4 \sin^{2} \frac{3}{2} x - 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为 $\frac{2 π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴为直线 $x = - \frac{π}{9}$ C、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{10 π}{9} ， - π]$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 的最小值为-4

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12. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，其中 $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 1$ 时， $△ A B_{1} P$ 的周长为定值 B、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A_{1} B C$ 的体积为定值 C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_{1} P ⊥ B P$ D、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_{1} B ⊥$ 平面 $A B_{1} P$

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三、填空题

13. 某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查，已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人.抽取的样本中高二年级有50人，则该校高二学生总数是人.

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14. 已知直线 $l_{1} ： a x + 2 y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 2 x - 5 y + b = 0$ 垂直，且垂足为 $(1 ， c)$ ，则 $a + b + c$ 的值为．

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15. 设 $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ 和 $B D$ 交于 $E ， P$ 为空间任意一点，如图所示，若 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D} = x \vec{P E}$ ，则 $x =$ ．

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16. 如图，在三棱锥 $D - A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = - 3$ ，设 $A D = a ， B C = b ， C D = c$ ，则 $\frac{c^{2}}{a b + 1}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知直线 $l_{1} ： 2 x - y + 1 = 0$ 和 $l_{2} ： x - y - 2 = 0$ 的交点为 $P$ ．

(1)、若直线 $l$ 经过点 $P$ 且与直线 $l_{3} ： 4 x - 3 y - 5 = 0$ 平行，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $m$ 经过点 $P$ 且与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为线段AB的中点，求 $△ O A B$ 的面积（其中O为坐标原点）．

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18. 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，中位数；

(3)、已知成绩在 $[80 ， 100]$ 内的男生数与女生数的比例为 $3 ： 1$ ，若在成绩为 $[80 ， 100]$ 内的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名男生和1名女生的概率.

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19. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P M = M C ， P A = 2 A D = 2$ ，且 $∠ P A B = ∠ P A D = 6 0^{∘}$ ，底面 $A B C D$ 为正方形.

(1)、设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b} ， \vec{A P} = \vec{c}$ 试用 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示向量 $\vec{B M}$ ；

(2)、求 $B M$ 的长.

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20. 已知角A ， B ， C是△ABC的内角，向量 $\vec{m} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{n} = (\sin (π - A) ， \sin (A - \frac{π}{2}))$ ， $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、求函数 $y = 2 \sin^{2} B + \cos (\frac{π}{3} - 2 B)$ 的值域.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A C ⊥ A D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， $P A = A D = 2$ ， $A C = 1$ .

(1)、证明： $P C ⊥ A D$ ；

(2)、求平面 $P A C$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值；

(3)、设 $E$ 为棱 $P A$ 上的点，满足异面直线 $B E$ 与 $C D$ 所成的角为 $30 °$ ，求 $A E$ 的长.

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22. 设常数 $a \in R$ ，函数 $f (x) = (a - x) | x |$ ．

(1)、若a=1，求f(x)的单调区间；

(2)、若f(x)是奇函数，且关于x的不等式mx²+m>f[f(x)]对所有的x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．

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