天津市河西区2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x + \sqrt{3} y + 2 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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2. 已知直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距是-5，在 $y$ 轴上的截距是6，则直线 $l$ 的方程是（）

A、 $6 x - 5 y + 30 = 0$ B、 $6 x + 5 y - 30 = 0$ C、 $6 x - 5 y - 30 = 0$ D、 $6 x + 5 y + 30 = 0$

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3. 已知直线 $l_{1} ： 2 x - a^{2} y + a = 0$ 与直线 $l_{2} ： (a - 1) x - a y + 1 = 0$ 互相平行，则实数 $a$ 的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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4. 如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱长均为2，则异面直线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} C$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、0

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5. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，四面体 $A B C D$ 的顶点坐标分别是 $A (0 ， 0 ， 2)$ ， $B (2 ， 2 ， 0)$ ， $C (1 ， 2 ， 1)$ ， $D (2 ， 2 ， 2)$ .则点 $B$ 到面 $A C D$ 的距离是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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6. 椭圆 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ 的焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，椭圆上的点 $P$ 满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 6 0^{∘}$ ，则点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为（）

A、 $\frac{64 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{91 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{32 \sqrt{3}}{9}$ D、 $\frac{64}{3}$

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7. 实数x，y满足 $x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ ，则 $\frac{y}{x - 1}$ 的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ B、 $(- \infty ， - \sqrt{3}] ∪ [\sqrt{3} ， + \infty)$ C、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{3}}{3}] ∪ [\frac{\sqrt{3}}{3} ， + \infty)$

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8. 直线 $y = x + b$ 与曲线 $x = \sqrt{1 - y^{2}}$ 有且仅有一个公共点，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 < b \leq 1$ 或 $b = - \sqrt{2}$ B、 $- 1 \leq b < 1$ 或 $b = \sqrt{2}$ C、 $- 1 \leq b < \sqrt{2}$ D、 $| b | = \sqrt{2}$

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9. 已知点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1 (x y \neq 0)$ 上的动点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆的左、右焦点， $O$ 为坐标原点，若 $M$ 是 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线上的一点，且 $\vec{F_{1} M} \cdot \vec{M P} = 0$ ，则 $| \vec{O M} |$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(0 ， \sqrt{3})$ C、 $(0 ， 4)$ D、 $(2 ， 2 \sqrt{3})$

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二、填空题

10. 已知 $M (7 ， 3)$ ， $N (- 1 ， 5)$ 则线段MN的垂直平分线方程是.

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11. 若椭圆C： $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的右焦点为F，且与直线l： $x - \sqrt{3} y + 2 = 0$ 交于P，Q两点，则 $△ P Q F$ 的周长为.

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12. 若圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 y - 6 = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ ，则公共弦 $A B$ 的长为.

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13. 椭圆 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $m$ =.

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14. 直线 $l ： (1 + 2 m) x - (1 + m) y - 1 - 3 m = 0$ 分别交 $x$ 轴､ $y$ 轴的正半轴于 $A$ ､ $B$ 两点，当 $△ A O B$ 面积最小时，直线 $l$ 的方程为.

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15. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点，过点 $F_{1}$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A ， B$ 两点， $| A F_{1} | = 3 | B F_{1} |$ ，若 $c o s ∠ A F_{2} B = \frac{3}{5}$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为.

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三、解答题

16. 已知圆C过 $A (- 2 ， 2)$ ， $B (2 ， 6)$ 两点，且圆心C在直线 $3 x + y = 0$ 上．

(1)、求圆C的方程；

(2)、若直线l过点 $P (0 ， 5)$ 且被圆C截得的线段长为 $4 \sqrt{3}$ ，求l的方程．

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17. 已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $4$ 的正方形， $△ P A D$ 是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD 的中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面 $A B C D$ ；
（Ⅱ）求平面EFG与平面 $A B C D$ 所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）线段 $P A$ 上是否存在点 $M$ ，使得直线 $G M$ 与平面 $E F G$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ ，若存在，求线段 $P M$ 的长度；若不存在，说明理由．

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18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上的动点，当点 $P$ 为短轴顶点时，△ $F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，椭圆短轴长为2.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 过定点 $(1 ， 0)$ 且与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $A$ ， $B$ ，点 $M$ 是椭圆 $C$ 的右顶点，直线 $A M$ ， $B M$ 分别与 $y$ 轴交于 $P$ ､ $Q$ 两点，试问：以线段 $P Q$ 为直径的圆是否过 $x$ 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

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