天津市北辰区2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x - 3 y - 5 = 0$ 的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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2. 在空间直角坐标系中，已知 $A (1 ， - 2 ， 3)$ ， $B (0 ， - 1 ， 2)$ ，则 $\vec{A B}$ 的模为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{11}$ D、3

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3. 若方程 $x^{2} + y^{2} + 2 a = 0$ 表示圆，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a < 0$ B、 $a = 0$ C、 $a \leq 0$ D、 $a > 0$

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4. 过点 $M (- 2 ， m)$ ， $N (m ， 4)$ 的直线的斜率等于1，则m的值为（）

A、1 B、4 C、1或3 D、1或4

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5. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上的一点 $P$ 到椭圆一个焦点的距离为5，则点 $P$ 到另一个焦点的距离为（）

A、2 B、3 C、5 D、7

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6. 已知圆的一条直径的端点分别是 $A (0, 0)$ ， $B (2, 4)$ ，则此圆的方程是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ C、 ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 5$ D、 ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 25$

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7. 已知x，y满足 $x + y + 3 = 0$ ，求 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、8 D、 $2 + \sqrt{2}$

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1 ， A (2 ， 0)$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，且 $O P ⊥ P A$ ，其中 $O$ 为坐标原点，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{2}{3} ， \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ B、 $(\frac{2 \sqrt{5}}{3} ， \pm \frac{2}{3})$ C、 $(- \frac{2}{3} ， \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ D、 $(- \frac{2 \sqrt{5}}{3} ， \pm \frac{2}{3})$

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9. 在四面体 $P - A B C$ 中给出以下四个结论，则说法错误的是（）

A、若 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A B}$ ，则可知 $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ B、若Q为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{P Q} = \frac{1}{3} \vec{P A} + \frac{1}{3} \vec{P B} + \frac{1}{3} \vec{P C}$ C、若 $\vec{P A} \cdot \vec{B C} = 0$ ， $\vec{P C} \cdot \vec{A B} = 0$ ，则 $\vec{P B} \cdot \vec{A C} = 0$ D、若四面体 $P - A B C$ 各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则 $| \vec{M N} | = 1$

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二、填空题

10. 设 $\vec{μ}$ ， $\vec{v}$ 分别是两个不同平面 $α$ ， $β$ 的法向量，当 $\vec{μ} = (- 2 ， 2 ， 5)$ ， $\vec{v} = (4 ， - 4 ， - 10)$ 时， $α$ 与 $β$ 的位置关系为.

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{10 - m} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 的长轴在 $y$ 轴上，若焦距为4，则 $m =$ .

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12. 已知圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 9 = 0$ 的圆心到直线 $a x + y + 1 = 0$ 的距离为2，则a的值为.

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13. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左､右焦点，点P在椭圆上，若线段 $P F_{1}$ 的中点在y轴上，则 $\frac{| P F_{2} |}{| P F_{1} |}$ 的值为.

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14. 若直线 $2 a x - b y + 2 = 0 (a > 0 ， b > 0)$ 始终平分圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ 的圆周，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为.

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15. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ，侧棱 $A A_{1} = 2$ ， D，E分别是 $C C_{1}$ 与 $A_{1} B$ 的中点，点E在平面 $A B D$ 上的射影是 $△ A B D$ 的重心G则 $A_{1} B$ 与平面ABD所成角的余弦值为.

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三、解答题

16.

(1)、已知坐标平面内两点 $M (m + 3 ， 2 m + 5)$ ， $N (m - 2 ， 1)$ .当 $m$ 为何值时，直线 $M N$ 的倾斜角为锐角？

(2)、已知直线 $l ： k x - y + 2 + 4 k = 0 (k \in R)$ .若直线 $l$ 不经过第四象限，求 $k$ 的取值范围.

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17. 如图，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为正方形， $△ P A D$ 是直角三角形，且 $P A = A D = 2$ ， E，F，G分别是线段 $P A$ ， $P D$ ， $C D$ 的中点

(1)、求证：平面 $E F G ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求点 $F$ 到直线 $B G$ 的距离；

(3)、求点 $A$ 到平面 $E F G$ 的距离.

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $M (\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ ，左焦点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ ，直线 $l ： y = 2 x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 是坐标原点．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $Δ O A B$ 面积为1，求直线 $l$ 的方程.

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19. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = 1$ ， E，F分别是 $C C_{1}$ ， BC的中点， $A E ⊥ A_{1} B_{1}$ ， D为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点.

(1)、证明： $D F ⊥ A E$ ；

(2)、是否存在一点D，使得平面 $D E F$ 与平面 $A B C$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{14}}{14}$ ？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由.

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20. 已知圆 $A ： {(x - \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 16$ 的圆心为A，点 $B (- \sqrt{3} ， 0)$ 是圆A内一个定点，点C是圆A上任意一点，线段 $B C$ 的垂直平分线与半径 $A C$ 相交于点D.

(1)、求动点D的轨迹E的方程；

(2)、给定点 $P (0 ， 1)$ ，设直线l不经过点P且与轨迹E相交于M，N两点，以线段 $M N$ 为直径的圆过点P.证明：直线l过定点

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