辽宁省沈阳市五校协作体2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知直线 $l_{1} ： x + a y + 6 = 0$ 和直线 $l_{2} ： (a - 2) x + 3 y + 2 a = 0$ ，若 $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ ，则 $a =$ （）

A、3 B、-1或3 C、-1 D、1或-3

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2. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， x ， 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，那么 $| \vec{b} |$ 等于（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{11}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、5

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3. 在四面体 $O - A B C$ 中，点 $P$ 为棱 $B C$ 的中点. 设 $\overset{⇀}{O A} = \vec{a}$ ， $\overset{⇀}{O B} = \vec{b}$ ， $\overset{⇀}{O C} = \vec{c}$ ，那么向量 $\overset{⇀}{A P}$ 用基底 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 可表示为（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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4. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为 $a ， b$ ，则椭圆的面积公式为 $S = π a b$ ，若椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，面积为 $2 \sqrt{3} π$ ，则椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{4} + x^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{6} + \frac{x^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 或 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

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5. 已知焦点在x轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则实数m等于（）

A、2 B、8 C、 $4 + 2 \sqrt{2}$ D、 $4 - 2 \sqrt{2}$

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6. 已知点 $P (4 ， 2)$ 是直线l被椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 所截得的线段的中点，则直线l的方程是（）

A、 $x - 2 y = 0$ B、 $x + 2 y - 4 = 0$ C、 $2 x + 3 y + 4 = 0$ D、 $x + 2 y - 8 = 0$

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7. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ， $P$ 是椭圆上的一点， $l ： x = - \frac{a^{2}}{c}$ ，且 $P Q ⊥ l$ ，垂足为 $Q$ ，若四边形 $P Q F_{1} F_{2}$ 为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(0 ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1)$

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8. 在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=f_π（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q₁=f_β[f_α（P）]，Q₂=f_α[f_β（P）]，恒有PQ₁=PQ₂ ，则（）

A、平面α与平面β垂直 B、平面α与平面β所成的（锐）二面角为45° C、平面α与平面β平行 D、平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°

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二、多选题

9. 直线a的方向向量为 $\vec{a}$ ，平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别为 $\vec{n}$ ， $\vec{m}$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{n}$ ，则直线 $a / /$ 平面 $α$ ； B、若 $\vec{a} / / \vec{n}$ ，则直线 $a ⊥$ 平面 $α$ ； C、若 $c o s ⟨ \vec{a} ， \vec{n} ⟩ = \frac{1}{2}$ ，则直线a与平面 $α$ 所成角的大小为 $\frac{π}{6}$ ； D、若 $c o s ⟨ \vec{m} ， \vec{n} ⟩ = \frac{1}{2}$ ，则平面 $α$ ， $β$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ．

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10. 已知圆O：x²+y²＝4和圆M：x²+y²－2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（）

A、圆M的圆心为（1，－2），半径为1 B、直线AB的方程为x－2y－4＝0 C、线段AB的长为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、取圆M上点C（a，b），则2a－b的最大值为 $4 + \sqrt{5}$

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11. 已知点 $M (1 ， 0)$ ， $A$ ， $B$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上的动点，当 $\vec{M A} \cdot \vec{B A}$ 取下列哪些值时，可以使 $\vec{M A} \cdot \vec{B M} = 0$ （）

A、3 B、6 C、9 D、12

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12. 将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”．下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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三、填空题

13. 若点 $A (2 ， a)$ 到直线 $l ： x - 2 y + 3 = 0$ 距离为 $\sqrt{5}$ ，则 $a$ = ．

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14. 过定点 $M$ 的直线： $k x - y + 1 - 2 k = 0$ 与圆： $(x + 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 9$ 相切于点 $N$ ，则 $| M N | =$ ．

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15. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 $0 - x y z$ 中的坐标分别是 $(0 ， 0 ， 0)$ 、 $(a ， 0 ， a)$ 、 $(0 ， a ， a)$ 、 $(a ， a ， 0)$ ，则该四面体的内切球与外接球体积之比为

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16. 设 $P$ 是椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 上的任一点， $E F$ 为圆 $N ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 的任一条直径，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 在三角形ABC中，已知点A(4，0)，B(－3，4)，C(1，2)．

(1)、求BC边上中线的方程；

(2)、若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．

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18. 如图1，在 $△ M B C$ 中，MA是BC边上的高， $M A = 3$ ， $A C = 4$ .如图2，将 $△ M B C$ 沿MA进行翻折，使得二面角 $B - M A - C$ 为 $90 °$ ，再过点B作 $B D / / A C$ ，连接AD，CD，MD，且 $A D = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ C A D = 30 °$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面MAD；

(2)、在线段MD上取一点E使 $\overset{⇀}{M E} = \overset{⇀}{\frac{1}{3} M D}$ ，求直线AE与平面MBD所成角的正弦值.

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19. 已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，求：

(1)、动点M的轨迹方程；

(2)、若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．

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20. 已知椭圆 $G : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，右焦点为 $(2 \sqrt{2}, 0)$ ,斜率为1的直线 $l$ 与椭圆 $G$ 交于 $A, B$ 两点，以 $A B$ 为底边作等腰三角形，顶点为 $P (- 3, 2)$ .

(1)、求椭圆 $G$ 的方程；

(2)、求 $△ P A B$ 的面积.

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21. 如图，在三棱柱ABC− $A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面ABC，D，E，F，G分别为 $A A_{1}$ ，AC， $A_{1} C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，AB=BC= $\sqrt{5}$ ，AC= $A A_{1}$ =2．

(1)、求证：AC⊥平面BEF；

(2)、求二面角B−CD−C₁的余弦值；

(3)、证明：直线FG与平面BCD相交．

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22. 已知椭圆 $C$ 的上顶点到左焦点 $F (- 1 ， 0)$ 的距离为 $\sqrt{2}$ .直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同两点 $A$ 、 $B$ （ $A$ 、 $B$ 都在 $x$ 轴上方），且 $∠ O F A + ∠ O F B = 18 0^{∘}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、当 $A$ 为椭圆与 $y$ 轴正半轴的交点时，求直线 $l$ 方程；

(3)、对于动直线 $l$ ，是否存在一个定点，无论 $∠ O F A$ 如何变化，直线 $l$ 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

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