辽宁省沈阳市郊联体2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知点 $A (1 ， 0)$ ､ $B (1 ， 2)$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ ，则（）

A、点 $A$ 与点 $B$ 都在圆 $O$ 外 B、点 $A$ 在圆 $O$ 外，点 $B$ 在圆 $O$ 内 C、点 $A$ 在圆 $O$ 内，点 $B$ 在圆 $O$ 外 D、点 $A$ 与点 $B$ 都在圆 $O$ 内

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2. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 上一点 $P$ 到 $F (3 ， 0)$ 的距离为 $6$ ， $O$ 为坐标原点，且 $\overset{⇀}{O Q} = \frac{1}{2} (\overset{⇀}{O F} + \overset{⇀}{O P})$ ，则 $| \overset{⇀}{O Q} | =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $2$ 或 $5$ D、 $1$ 或 $5$

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3. 已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是（）

A、 $k ⩾ \frac{1}{2}$ B、 $k ⩽ - 2$ C、 $k ⩾ \frac{1}{2}$ 或 $k ⩽ - 2$ D、 $- 2 ⩽ k ⩽ \frac{1}{2}$

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4. 如图，把椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的长轴 $A B$ 分成8等份，过每个分点作 $x$ 轴的垂线交椭圆的上半部分于点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， …， $P_{7}$ ， $F$ 是椭圆的左焦点，则 $P_{1} F + P_{2} F + \cdot \cdot \cdot + P_{7} F =$ （）

A、35 B、30 C、25 D、20

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5. 已知圆 $M ： x^{2} + y^{2} + 2 m x - 3 = 0 (m < 0)$ 的半径为2，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点为 $F (- c ， 0)$ ，若垂直于 $x$ 轴且经过 $F$ 点的直线 $l$ 与圆 $M$ 相切，则椭圆 $C$ 的长轴长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、4 D、8

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6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为 $B (- 4 ， - 4)$ ，若将军从点 $A (- 2 ， 0)$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $x + y = 2$ ，则“将军饮马”的最短总路程为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、5 C、 $2 \sqrt{10}$ D、10

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7. 已知圆 $M$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 36$ ，定点 $N (2 ， 0)$ ， $A$ 是圆 $M$ 上的一动点，线段 $A N$ 的垂直平分线交 $M A$ 于点 $P$ ，则 $P$ 点的轨迹 $C$ 的方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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8. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，则异面直线 $A C$ 与 $B C_{1}$ 之间的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{6}{7}$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， - 2 ， - 4) ， \vec{b} = (6 ， - 3 ， 2)$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (10 ， - 5 ， - 2)$ B、 $\vec{a} - \vec{b} = (2 ， - 1 ， 6)$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ D、 $| \vec{a} | = 6$

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10. 设定点 $F_{1} (0 ， - 3)$ ， $F_{2} (0 ， 3)$ ，动点 $P$ 满足 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = a + \frac{9}{a} (a > 0)$ ，则点 $P$ 的轨迹可能是（）

A、圆 B、线段 C、椭圆 D、直线

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11. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 的公共点为 $A$ ， $B$ ，则（）

A、 $| C_{1} C_{2} | = 2$ B、直线 $A B$ 的方程是 $x = \frac{1}{4}$ C、 $A C_{1} ⊥ A C_{2}$ D、 $| A B | = \frac{\sqrt{15}}{2}$

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12. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线 $C ： x^{2} + y^{2} = 1 + | x | y$ 就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（）

A、图形关于 $y$ 轴对称 B、曲线 $C$ 恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点） C、曲线 $C$ 上存在到原点的距离超过 $\sqrt{2}$ 的点 D、曲线 $C$ 所围成的“心形”区域的面积大于3

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三、填空题

13. 已知异面直线a，b的方向向量分别为 $\vec{e_{1}} = (0 ， 2 ， 1)$ ， $\vec{e_{2}} = (1 ， - 1 ， 1)$ ，则a，b所成角的余弦值为.

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14. 如图，二面角 $α - l - β$ 等于 $120 °$ ，A、B是棱l上两点， $A C$ 、 $B D$ 分别在半平面 $α$ 、 $β$ 内， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，且 $A B = A C = B D = 1$ ，则 $C D$ 的长等于．

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15. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆上一个动点， $Q$ 为圆 $M ： x^{2} + y^{2} - 10 x - 8 y + 40 = 0$ 上一个动点，则 $| P F_{1} | + | P Q |$ 的最大值为

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16. 双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线的方程为 $y = \sqrt{2} x$ ，则该双曲线的离心率为，若E上的点A满足 $A F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，其中 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是E的左，右点，则 $s i n ∠ A F_{1} F_{2} =$ .

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四、解答题

17. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4 ， A D = 3 ， A A^{^{'}} = 5 ， ∠ B A D = 90 °$ ， $∠ B A A^{'} = ∠ D A A^{'} = 60 °$ ，点 $F$ 为 $B C^{'}$ 与 $B^{'} C$ 的交点，点 $E$ 在线段 $A C^{'}$ 上，且 $A E = 2 E C^{'}$ .

(1)、求 $A C^{'}$ 的长；

(2)、设 $\vec{E F} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A^{'}}$ ，求 $x ， y ， z$ 的值.

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18. 在平面直角坐标系中，已知菱形 $A B C D$ 的顶点 $A (- 1 ， 2)$ 和 $C (5 ， 4) ， A B$ 所在直线的方程为 $x - y + 3 = 0$ ，

(1)、求对角线 $B D$ 所在直线一般形式方程；

(2)、求 $A D$ 所在直线一般形式方程．

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19. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是菱形，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $O A = 4$ ， $O B = 3$ ， $O P = 4$ ， $O P ⊥$ 底面 $A B C D$ ，设点 $M$ 是 $P C$ 的中点．

(1)、直线 $P B$ 与平面BDM所成角的正弦值．

(2)、点A到平面BDM的距离．

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 经过 $(0 ， 1) ， (\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l ： x - y - 1 = 0$ 交椭圆 $E$ 于不同两点 $A ， B ， O$ 是坐标原点，求 $△ O A B$ 的面积.

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21. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，底面ABCD为直角梯形， $B C / / A D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $E$ 为线段AD的中点，过 $B E$ 的平面与线段PD， $P C$ 分别交于点 $G$ ， $F$ .

(1)、求证： $G F ⊥ P A$ ；

(2)、若 $P A = P D = 2$ ，是否存在点 $F$ ，使得二面角 $F - E B - P$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，若存在，请确定 $F$ 点的位置；若不存在，请说明理由.

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22. 已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．

(1)、求圆C的方程；

(2)、过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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