辽宁省辽南协作校2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点到准线的距离是（）

A、2 B、4 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2. 已知向量 $\vec{a}$ ＝（3，0，1）， $\vec{b}$ ＝（﹣2，4，0），则3 $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ 等于（）

A、（5，8，3） B、（5，﹣6，4） C、（8，16，4） D、（16，0，4）

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3. 若方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - k = 0$ 表示一个圆，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $k ⩾ 2$ B、 $k > 2$ C、 $k > - 2$ D、 $k ⩾ - 2$

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4. 直线 $l_{1} ： (a + 2) x + y + a = 0$ 与直线 $l_{2} ： 2 x + (a + 3) y + a - 1 = 0$ 平行，则 $a$ 为（）

A、-1或-4 B、-1 C、2 D、-4

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5. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $P$ 在线段 $B_{1} C_{1}$ 上，且 $B_{1} P = \frac{1}{3} B_{1} C_{1}$ ，则 $\vec{A P} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$ B、 $\vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$ C、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{A C} + \overset{⇀}{A A_{1}}$ D、 $\frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C} + \overset{⇀}{A A_{1}}$

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6. 椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 中，以点 $M (1 ， \frac{1}{2})$ 为中点的弦所在直线的斜率为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、-4 C、 $- \frac{1}{2}$ D、-2

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7. 如图，四面体 $A B C D$ 中， $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ 和 $C D$ 的中点， $A D = 2$ ， $B C = 4$ ，且向量 $\vec{A D}$ 与向量 $\vec{B C}$ 的夹角为 $120 °$ ，则线段 $M N$ 长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{3}$ 或 $\sqrt{7}$ D、3或 $3 \sqrt{3}$

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8. 动点 $M$ 分别与两定点 $A (- 5 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ 连线的斜率的乘积为 $- \frac{16}{25}$ ，设点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ，已知 $N (2 ， \sqrt{3})$ ， $F (- 3 ， 0)$ ，则 $| M F | + | M N |$ 的最小值为（）

A、4 B、8 C、 $2 \sqrt{3}$ D、12

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二、多选题

9. 在四棱锥 $O - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $O A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $O A = 4$ ， $M$ ， $N$ ， $R$ 分别是 $O A$ ， $B C$ ， $A D$ 的中点，以下说法正确的是（）

A、直线 $M N$ 与平面 $O C D$ 的距离为 $\sqrt{5}$ B、平面 $M N R$ 与平面 $O C O$ 的距离为 $\sqrt{2}$ C、点 $M$ 与平面 $O C D$ 的距离为 $\sqrt{5}$ D、点 $N$ 与平面 $O C D$ 的距离为 $\sqrt{2}$

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是双曲线上一点，若 $| P F_{1} | = 5 | P F_{2} |$ ，则该双曲线的离心率可以是（）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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11. 下列命题中不正确的是（）

A、不过原点的直线都可以用方程 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 表示 B、已知 $A (1 ， 1 ， 0) ， B (0 ， 1 ， 1) ， C (2 ， 1 ， 2)$ ，则向量 $\vec{A B}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影的数量是 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上有且仅有2个点到直线 $l ： x - y + \sqrt{2} = 0$ 的距离等于1 D、已知 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{2}}$ 是两个互相垂直的单位向量， $\vec{a} = 4 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = t \vec{e_{1}} + 10 \vec{e_{2}}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $t = 5$

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12. 如图：空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知点 $A (- 2 ， 0 ， 0)$ ， $B (2 ， 0 ， 0)$ ， $C (0 ， - 4 ， 0)$ ， $D (0 ， 0 ， 4)$ ，则下列选项正确的是（）

A、设点 $E$ 在 $x O y$ 面内，若 $E A$ 的斜率与 $E B$ 的斜率之积为 $2$ ，则点 $E$ 的轨迹为双曲线 B、三棱锥 $D - A B C$ 的外接球表面积是 $34 π$ C、设点 $P$ 在 $x O z$ 平面内，若点 $P$ 到直线 $O C$ 的距离与点 $P$ 到直线 $B D$ 的距离相等，则点 $P$ 的轨迹是抛物线 D、设点 $M$ 在 $x O y$ 面内，且 $| M A | + | M B | = 6$ ，若向量 $\vec{M N}$ 与 $z$ 轴正方向同向，且 $| \vec{M N} | = 4$ ，则 $| N A |^{2} + | N B |^{2}$ 最小值为50

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三、填空题

13. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 的焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的右焦点重合，则抛物线 $C$ 的标准方程为.

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14. 四面体 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = B D = 2$ ， $∠ A B D = ∠ A B C = 60 °$ ， $B C ⊥ B D$ ，若 $E$ 为 $C D$ 中点，则 $A E$ 长为.

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15. 已知过点 $(2 ， 1)$ 的直线 $l$ 与圆 $C ： (x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则直线 $l$ 的方程为.

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16. 已知 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，若点 $F_{2}$ 到该双曲线的渐近线的距离为2，点 $P$ 在双曲线上，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则三角形 $F_{1} P F_{2}$ 的面积为.

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四、解答题

17. 已知直线 $l$ 经过点 $P (- 2 ， 3)$ 倾斜角 $α$ 的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、判断直线 $l$ 与圆C_________：的位置关系；如果相交，记交点为 $A$ ， $B$ ，求经过 $A$ ， $B$ 两点的圆的面积的最小值；如果相离，过直线 $l$ 上的点 $E$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $F$ ，求 $E F$ 长的最小值.
现给出两个条件：① $(x + 3)^{2} + y^{2} = 25$ ；② $(x - 2)^{2} + y^{2} = 16$ ，从中选出一个条件填在横线上，写出一种方案即可.

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18. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点 $A$ ， $B$ 的距离之比为定值 $λ (λ > 0$ 且 $λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{1}{2}$ .设点 $P$ 的轨迹为 $C_{1}$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、若曲线 $C_{1}$ 和 $⊙ C_{2} ： (x - 4)^{2} + (y - 6)^{2} = r^{2} (r > 0)$ 无公共点，求 $r$ 的取值范围.

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19. 如图所示，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A D ⊥ B C$ ， $| A D | = | B D | = 2$ ， $| B C | = 4 \sqrt{2}$ ， $| A C | = 2 \sqrt{6}$ ， $∠ D B C = 45 °$ .

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若 $E$ 为 $D C$ 的中点，求直线 $A E$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的动点 $P$ 到左焦点 $F_{1}$ 的最远距离是3，最近距离是1.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设直线 $l$ 过椭圆 $C$ 的右焦点 $F_{2}$ ，且与椭圆 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ M F_{1} N$ 的面积的最大值.

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21. 如图， $A D / / B C$ 且 $A D = 2 B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $E G / / A D$ 且 $E G = A D$ ， $C D / / F G$ 且 $C D = 2 F G$ ， $D G ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D A = D C = D G = 2$ ．

(1)、若点 $M$ 为 $C F$ 的中点，点 $N$ 为 $E G$ 的中点，点 $P$ 为线段 $D G$ 上动点，且平面 $M N P / /$ 平面 $C D E$ ，求 $\frac{G P}{G D}$ 的值；

(2)、求二面角 $E - B C - F$ 的正弦值．

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22. 已知平面直角坐标系下点 $B (- 2 ， 0)$ 和点 $C (2 ， 0)$ ， $△ A B C$ 的周长等于12.

(1)、求这个三角形的顶点 $A$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、过点 $C$ 的直线交曲线 $E$ 于 $M$ ， $N$ 两点，设点 $N$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $Q (M$ ， $Q$ 不重合），判断直线 $M Q$ 是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由.

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