江苏省扬州市江都区2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x - y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{3}{4} π$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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2. 若直线 $l_{1} ： x + (m - 1) y + 5 = 0$ 与直线 $l_{2} ： m x + 2 y + 2 = 0$ 平行，则 $m$ 的值为（）

A、-1 B、2 C、-1或2 D、 $\sqrt{3} x - y - 1 = 0$ $1$ 或-2

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3. 若抛物线 $y^{2} = 16 x$ 上的点 $M$ 到焦点的距离为 $12$ ，则它到 $y$ 轴的距离是（）

A、6 B、8 C、9 D、10

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4. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + m + 6 =$ 0相外切，则m的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4 - k} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{3}$ ，则 $k$ 的值为（）

A、-4 B、4 C、-4或 $- \frac{49}{8}$ D、4或 $- \frac{49}{8}$

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6. 阿基米德是古希腊著名的数学家､物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 $π$ 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C ：$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b$ $> 0)$ 的面积为 $8 \sqrt{3} π$ ，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆 $C$ 的标准方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1$

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7. 平面直角坐标系中，已知 $A (6 ， 8)$ ，在两坐标轴上分别有动点 $M$ 、 $N$ ，且 $| M N | = 6$ ， $P$ 是 $M N$ 的中点，则 $P A$ 长度的最小值是（）

A、6 B、13 C、10 D、7

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8. 若双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线被以焦点为圆心的圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 所截得的弦长为 $2$ ，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、过 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2})$ 两点的直线方程为 $\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ B、经过点 $(1 ， 2)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$ C、若方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - m = 0$ 表示圆，则 $m > - 2$ D、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上有且只有三点到直线 $l ： x - y + \sqrt{2} = 0$ 的距离都等于 $1$

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{2 k^{2}} - \frac{y^{2}}{k^{2}} = 1$ ，对于 $\forall k \in R$ 且 $k \neq 0$ ，则下列四个选项中因k改变而变化的是（）

A、焦距 B、离心率 C、顶点坐标 D、渐近线方程

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11. 设抛物线 $y^{2} = 4 x$ ， $F$ 为其焦点， $P$ 为抛物线上一点，则下列结论正确的是（）

A、抛物线的准线方程是 $x = - 1$ B、当 $P F ⊥ x$ 轴时， $| P F |$ 取最小值 C、若 $A (2 ， 3)$ ，则 $| P A | + | P F |$ 的最小值为 $\sqrt{10}$ D、以线段 $P F$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切

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12. 某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点 $A (- 5 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ ，直线 $A M$ ， $B M$ 相交于点M，且它们的斜率之积为 $- \frac{4}{9}$ ，求点M的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为 $- \frac{4}{9}$ ”拓展为“斜率之积为常数 $k (k \neq 0)$ ”之后，进行了如图所示的作图探究：
参考该同学的探究，下列结论正确的有：（）

A、 $k < 0$ 时，点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点) B、 $- 1 < k < 0$ 时，点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(不含与x轴的交点) C、 $k < - 1$ 时，点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(不含与x轴的交点) D、 $k > 0$ 时，点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(不含与x轴的交点)

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三、填空题

13. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长为．

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14. 已知双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm 3 x$ ，写出双曲线 $C$ 的一个标准方程.

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15. 椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为．

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16. 已知圆 $C ： {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $M$ 在抛物线 $T ： y^{2} = 4 x$ 上运动，过点 $M$ 引直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与圆 $C$ 相切，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，则 $| A B |$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 三个顶点坐标分别为 $A (- 4 ， - 2)$ ， $B (6 ， 6)$ ， $C (0 ， 6)$ .

(1)、设线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，求中线 $C M$ 所在直线的方程；

(2)、求边 $A B$ 上的高所在直线的方程.

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18. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $2 x - y = 0$ 上，且与 $y$ 轴相切于点 $(0 ， 2)$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若圆 $C$ 与直线 $l ： x - y + m = 0$ 交于 $A ， B$ 两点，__________，求 $m$ 的值.
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①： $∠ A C B = 120 °$ ；条件②： $| A B | = \sqrt{3}$ ；条件③： $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = - \frac{1}{2}$ .

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19. 已知平面上两点 $F (- 4 ， 0)$ ， $F^{'} (4 ，， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $| P F | + | P F^{'} | = 10$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的标准方程；

(2)、当动点 $P$ 满足 $∠ F P F^{'} = 90 °$ 时，求 $P$ 点的纵坐标.

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20. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点 $F$ 与双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右顶点重合，过点 $M (3 ， 0)$ 作倾斜角为 $4 5^{∘}$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A ， B$ 两点.

(1)、求抛物线方程；

(2)、若 $O$ 为坐标原点，求 $△ A O B$ 的面积.

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21. 已知双曲线 $E ： x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(b > 0)$ ，点 $P (2 ， 3)$ 在 $E$ 上.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过点 $Q (0 ， 1)$ 的直线 $l$ 交 $E$ 于不同的两点 $A ， B$ （均异于点 $P$ ），求直线 $P A ， P B$ 的斜率之和.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，焦距是 $2 \sqrt{2}$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l ： y = k x + m$ （ $k ， m$ 均为常数）与椭圆 $C$ 相交于不同的两点 $M ， N$ （均异于点 $A$ ），若以 $M N$ 为直径的圆经过椭圆 $C$ 的右顶点 $A$ ，试判断直线 $l$ 能否过定点？若能，求出该定点坐标；若不能，也请说明理由．

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