江苏省扬州市宝应县2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若点A(0，1)，B( $\sqrt{3}$ ， 4)在直线l₁上，l₁⊥l₂ ，则直线l₂的倾斜角为（）

A、－30° B、30° C、150° D、120°

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2. 直线 $l$ 过点 $(1 ， 2)$ ，且纵截距为横截距的两倍，则直线 $l$ 的方程是（）

A、 $2 x - y = 0$ B、 $2 x + y - 4 = 0$ C、 $2 x - y = 0$ 或 $2 x + y - 4 = 0$ D、 $2 x - y = 0$ 或 $2 x + y - 2 = 0$

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3. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} (\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618)$ ，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ 是黄金双曲线，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{\frac{\sqrt{5} - 1}{2}}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{\frac{\sqrt{5} + 1}{2}}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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4. 点 $M ， N$ 是圆 $x^{2} + y^{2} + k x + 2 y - 4 = 0$ 上的不同两点，且点 $M ， N$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称，则该圆的半径等于（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、1

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5. 已知方程 $\frac{x^{2}}{9 - k} + \frac{y^{2}}{k - 4} = 1$ 的曲线是焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $4 < k < 9$ B、 $4 < k < \frac{13}{2}$ C、 $\frac{13}{2} < k < 9$ D、 $4 < k < 9$ 且 $k \neq \frac{13}{2}$

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6. 抛物线 $y = \frac{1}{16} x^{2}$ 的准线方程是（）

A、 $x = \frac{1}{16}$ B、 $y = - \frac{1}{16}$ C、 $x = - 4$ D、 $y = - 4$

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7. 若直线 $a x + b y = 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交，则 $P (a ， b)$ 与圆的位置关系为（）

A、在圆外 B、在圆上 C、在圆内 D、以上都有可能

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8. 已知⊙M： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，直线 $l$ ： $2 x + y + 2 = 0$ ，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线 $P A, P B$ ，切点为 $A, B$ ，当 $| P M | \cdot | A B |$ 最小时，直线 $A B$ 的方程为（）

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $2 x - y + 1 = 0$ D、 $2 x + y + 1 = 0$

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二、多选题

9. 下列有关双曲线 $2 x^{2} - 3 y^{2} = 1$ 的命题中，叙述正确的是（）

A、顶点 $(\pm \sqrt{2} ， 0)$ B、离心率 $e = \frac{\sqrt{10}}{2}$ C、渐近线方程 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} x$ D、焦点 $(\pm \frac{\sqrt{30}}{6} ， 0)$

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10. 下面叙述错误的是（）

A、经过点 $P (1 ， 1)$ ，倾斜角为 $θ$ 的直线方程为 $y - 1 = t a n θ (x - 1)$ B、若方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + m = 0$ 表示圆，则 $m < 2$ C、直线 $3 x + 4 y - 1 = 0$ 和直线 $6 x + 8 y + 3 = 0$ 间的距离为 $\frac{2}{5}$ D、若椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的一个焦点坐标为 $(0 ， 3)$ ，则长轴长为 $10$

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11. 下列说法正确的是（）

A、直线 $x s i n α - y + 1 = 0$ 的倾斜角的取值范围为 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4} ， π]$ B、“c=5”是“点(2，1)到直线 $3 x + 4 y + c = 0$ 距离为3”的充要条件 C、直线l： $λ x + y - 3 λ = 0 (λ \in R)$ 恒过定点(3，0) D、直线 $y = - 2 x + 5$ 与直线 $2 x + y + 1 = 0$ 平行，且与圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 相切

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12. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，则（）

A、以线段 $A B$ 为直径的圆与直线 $x = - \frac{3}{2}$ 相离 B、以线段 $B M$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切 C、当 $\overset{⇀}{A F} = 2 \overset{⇀}{F B}$ 时， $| A B | = \frac{9}{2}$ D、 $| A B |$ 的最小值为4

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三、填空题

13. 若直线 $2 x + m y - 2 m + 4 = 0$ 与直线 $m x + 2 y - m + 2 = 0$ 平行，则实数m= ．

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14. 过点( $\sqrt{3}$ ，－ $\sqrt{5}$ )，且与椭圆 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{9} = 1$ 有相同焦点的椭圆的标准方程为．

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15. 大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年.现有一动点 $P$ 满足 $| O P | = 2$ ，其中 $O$ 为坐标原点，若 $M (\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $| P M |$ 的最小值为.

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16. 已知斜率 $k (k > 0)$ 为的直线过抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 且与抛物线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，过 $A$ ， $B$ 分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，若 $\frac{S_{△ A B B_{1}}}{S_{△ A B A_{1}}} = 4$ ，则 $k =$ ．

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四、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，已知点 $A (3, 2)$ ， $A C$ 边上的中线 $B M$ 所在直线的方程为 $x - 3 y - 4 = 0$ ， $A B$ 边上的高所在直线的方程为 $y = \frac{1}{2} (x - 7)$ .

(1)、求直线 $A B$ 的方程；

(2)、求点 $B$ 的坐标.

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18. 求满足下列条件的曲线的方程：

(1)、离心率为 $\frac{3}{4}$ ，长轴长为8的椭圆的标准方程；

(2)、与椭圆 $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{40} = 1$ 有相同焦点，且经过点 $(1 ， \sqrt{15})$ 的双曲线的标准方程.

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19. 已知圆C₁的圆心为坐标原点，且与直线 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 相切．

(1)、求圆C₁的标准方程；

(2)、若直线l过点M（1，2），直线l被圆C₁所截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程．

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20. 设抛物线C：y²＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．

(1)、当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

(2)、证明：∠ABM＝∠ABN.

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 交 $y$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，交直线 $y = k x - 1$ 于 $M$ 、 $N$ 两点．

(1)、若 $| M N | = \sqrt{14}$ ，求 $k$ 的值；

(2)、设直线 $A M$ 、 $A N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，试探究斜率之积 $k_{1} k_{2}$ 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

(3)、证明：直线 $A M$ 、 $B N$ 的交点必然在一条定直线上，并求出该定直线的方程．

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22. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右准线方程为 $x = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆方程；

(2)、 $P (0 ， 1)$ ， A､B为椭圆的左右顶点，过A作斜率为 $k_{1}$ 的直线交椭圆于E，连接EP并延长交椭圆于F，记直线BF的斜率为 $k_{2}$ ，若 $k_{1} = 3 k_{2}$ ，求直线EF的方程.

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