江苏省盐城市滨海县2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-08-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $2 x + y + 1 = 0$ 在y轴上的截距是（）

A、1 B、-1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 圆心在y轴上，半径为1，且过点 $(1 ， 2)$ 的圆的方程是（）

A、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ B、 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ D、 $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$

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3. 无论 $m$ 取何实数，直线 $l : m x + y - 1 + 2 m = 0$ 恒过一定点，则该定点坐标为（）

A、 $(-2 ， 1)$ B、 $(- 2, - 1)$ C、 $(2, 1)$ D、 $(2, - 1)$

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4. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5. 若抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线 $3 x - 4 y + 10 = 0$ 的距离之和的最小值是（）

A、2 B、 $\frac{13}{5}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、3

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6. 若入射光线所在直线的方程为 $\sqrt{3} x - y - 4 = 0$ ，经直线 $x + y - 1 = 0$ 反射，则反射光线所在直线的方程是（）

A、 $\sqrt{3} x + y + 5 = 0$ B、 $x - \sqrt{3} y + 4 - \sqrt{3} = 0$ C、 $x - \sqrt{3} y + \sqrt{3} - 5 = 0$ D、 $x + \sqrt{3} y + \sqrt{3} = 0$

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7. 已知圆 $C$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ ，直线 $l$ ： $y = x + t$ 与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $△ A B C$ 的面积为8，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $y = x - 3$ 或 $y = x - 5$ B、 $y = x + 3$ 或 $y = x + 5$ C、 $y = x + 3$ 或 $y = x - 5$ D、 $y = x - 3$ 或 $y = x + 5$

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的右焦点为F，上顶点为B，A是椭圆上一点，则 $△ A B F$ 的周长最大值为（）

A、14 B、16 C、18 D、20

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二、多选题

9. 已知曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m - 1} + \frac{y^{2}}{3 - m} = 1 (m \in R)$ （）

A、若 $1 < m < 3$ ，则 $C$ 为椭圆 B、若 $m < 1$ ，则 $C$ 为双曲线 C、若 $C$ 为椭圆，则其长轴长一定大于 $2$ D、若 $C$ 为焦点在 $x$ 轴上的双曲线，则其离心率小于 $\sqrt{2}$

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10. 已知圆 $M ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 1 = 0$ ，点 $P (x ， y)$ 是圆M上的动点，则下列说法正确的有（）

A、圆M关于直线 $x + 3 y - 2 = 0$ 对称 B、直线 $x + y = 0$ 与M的相交弦长为 $\sqrt{3}$ C、 $t = \frac{y}{x + 3}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ D、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $9 - 4 \sqrt{5}$

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11. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 内一点M(1，2)，直线 $l$ 与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（）

A、椭圆的焦点坐标为(2，0)､(-2，0) B、椭圆C的长轴长为 $4 \sqrt{2}$ C、直线 $l$ 的方程为 $x + y - 3 = 0$ D、 $| A B | = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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12. 在平面直角坐标系中，定义 $d (P ， Q) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ 为 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 两点之间的“折线距离”，则下列说法中正确的是（）

A、若点C在线段AB上，则有 $d (A ， C) + d (C ， B) = d (A ， B)$ B、若A，B，C是三角形的三个顶点，则有 $d (A ， C) + d (C ， B) > d (A ， B)$ C、到 $M (- 1 ， 0)$ ， $N (1 ， 0)$ 两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线 $x = 0$ D、若O为坐标原点，点B在直线 $x + y - 2 \sqrt{2} = 0$ 上，则d（O，B）的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的蒙日圆为 $x^{2} + y^{2} = 10$ ，则该椭圆的离心率为.

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14. 若点 $(1 ， - 1)$ 在圆 $x^{2} + y^{2} - x + y + m = 0$ 外，则 $m$ 的取值范围是.

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15. 已知A，B是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，满足PA，PB的斜率乘积为 $\frac{3}{4}$ ，则该双曲线的离心率为.

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16. 在平面直角坐标系中， $A, B$ 分别是 $x$ 轴和 $y$ 轴上的动点，若以 $A B$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $2 x + y - 4 = 0$ 相切，则圆 $C$ 面积的最小值为．

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四、解答题

17.

(1)、已知直线 $l_{2}$ 经过点 $(1 ， 1)$ 且与直线 $l_{1} ： x + 2 y - 1 = 0$ 垂直，求直线 $l_{2}$ 的方程.

(2)、已知直线 $l_{3}$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A ， B$ 两点， $A B$ 的中点为 $(2 ， 1)$ ，求直线 $l_{3}$ 的方程.

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18.

(1)、已知等轴双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的上顶点到一条渐近线的距离为 $1$ ，求此双曲线的方程；

(2)、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，设过焦点 $F$ 且倾斜角为 $45 °$ 的直线l交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，求线段 $A B$ 的长．

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19. 问题：平面直角坐标系xOy中，圆C过点A（6，0），且____.
（在以下三个条件中任选一个，补充在横线上.）
①圆心C在直线 $l ： 2 x - 7 y + 8 = 0$ 上，圆C过点B（1，5）；②圆C过点 $B (1 ， 5)$ 和 $D (5 ， - 1)$ ；③圆C过直线 $l ： 3 x + 5 y - 8 = 0$ 和圆 $x^{2} + y^{2} + 6 y - 16 = 0$ 的交点.

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、求过点A的圆C的切线方程.

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，点 $T (2 \sqrt{2} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ 在椭圆上.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、已知直线 $y = \sqrt{2} x + m$ 与椭圆交于A， $B$ 两点，点 $P$ 的坐标为 $(2 \sqrt{2} ， 0)$ ，且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = - 1$ ，求实数 $m$ 的值.

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21. 已知 $a > b > 0$ ，如图，曲线 $Γ$ 由曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (y \leq 0)$ 和曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (y > 0)$ 组成，其中点F₁ ， F₂为曲线C₁所在圆锥曲线的焦点，点F₃ ， F₄为曲线C₂所在圆锥曲线的焦点，F₂（2，0），F₄（6，0）.

(1)、求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、如图，作直线l平行于曲线C₂的渐近线，交曲线C₁于点A，B，求证：弦AB的中点M必在曲线C₂的另一条渐近线上.

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22. 最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图， $O$ ， $A$ ， $B$ 是三个军事基地， $C$ 为一个军事要塞，在线段 $A B$ 上．已知 $t a n ∠ A O B = - 2$ ， $O A = 100 k m$ ， $C$ 到 $O A$ ， $O B$ 的距离分别为 $50 k m$ ， $30 \sqrt{5} k m$ ，以点 $O$ 为坐标原点，直线 $O A$ 为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系如图所示．

(1)、求两个军事基地 $A B$ 的长；

(2)、若要塞 $C$ 正北方向距离要塞 $100 k m$ 处有一 $E$ 处正在进行爆破试验，爆炸波生成 $t h$ 时的半径为 $r = 5 \sqrt{a t}$ （参数 $a$ 为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以 $300 \sqrt{2} k m / h$ 的速度自基地 $A$ 开往基地 $B$ ，问参数 $a$ 控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行．

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