广东省六校2022-2023学年高三上学期数学8月第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-08-16 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 3}{x + 1} > 0}$ ， $B = {x | y = ln (3 - x)}$ ，则如图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $[- 1 ， 3]$ B、 $(3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 3]$ D、 $[- 1 ， 3)$

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2. 设复数 $z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，其中i是虚数单位， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，下列判断中错误的是（）

A、 $z \bar{z} = 1$ B、 $z^{2} = \bar{z}$ C、z是方程 $x^{2} - x + 1 = 0$ 的一个根 D、满足 $z^{n} \in R$ 最小正整数n为3

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3. 直线 $y = x - 1$ 过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ ，且与 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点，则 $| A B | =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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4. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量 $Y \sim B (n ， p)$ ，当 $n$ 充分大时，二项随机变量 $Y$ 可以由正态随机变量 $X$ 来近似地替代，且正态随机变量 $X$ 的期望和方差与二项随机变量 $Y$ 的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗 $(1667 - 1754)$ 在1733年证明了 $p = \frac{1}{2}$ 时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯 $(1749 - 1827)$ 在1812年证明了这个结论对任意的实数 $p \in (0 ， 1]$ 都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（） $($ 附：若 $X \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ ⩽ X ⩽ μ + σ) \approx 0.6827 ， P (μ - 2 σ ⩽ X ⩽ μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ ⩽ X ⩽ μ + 3 σ) \approx 0.9973)$

A、 $0.97725$ B、 $0.84135$ C、 $0.65865$ D、 $0.02275$

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5. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (x \in R ， A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、直线 $x = π$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 B、 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(- \frac{π}{12} + k π ， 0)$ ， $k \in Z$ C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增 D、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，可得到一个奇函数的图象

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6. 中国古代的蹴鞠游戏中的“蹴”的含义是脚蹴、踢，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点 $P ， A ， B ， C$ ，满足 $P A = 1 ， P A ⊥$ 面ABC， $A C ⊥ B C$ ，若 $V_{P - A B C} = \frac{2}{3}$ ，则该“鞠”的体积的最小值为（）

A、 $\frac{25}{6} π$ B、9π C、 $\frac{9}{2} π$ D、 $\frac{9}{8} π$

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7. 设 $a = \frac{2 (2 - \ln 2)}{e^{2}}$ ， $b = \frac{\ln 2}{2}$ ， $c = \frac{1}{e}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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8. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x) = 0 ， f (x) = f (2 - x)$ ；且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x^{3} - x^{2} + x$ ．则方程 $7 f (x) - x + 2 = 0$ 所有的根之和为（）

A、14 B、12 C、10 D、8

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A､ $B$ 存在如下关系： $P (A | B) = \frac{P (A) P (B | A)}{P (B)}$ .王同学连续两天在某高校的甲､乙两家餐厅就餐，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（）

A、第二天去甲餐厅的概率为0.54 B、第二天去乙餐厅的概率为0.44 C、第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为 $\frac{5}{9}$ D、第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 $\frac{4}{9}$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n | x | - | c o s x |$ ，下列关于此函数的论述正确的是（）

A、 $π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- \sqrt{2} ， 1]$ C、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{3 π}{4} ， \frac{4 π}{3}]$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 在 $[- 2 π ， 2 π]$ 内有4个零点

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，点P，Q是双曲线C上关于原点对称的两点（异于顶点），直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ ， $Q A_{1}$ 的斜率分别为 $k_{P A_{1}}$ ， $k_{P A_{2}}$ ， $k_{Q A_{1}}$ ，若 $k_{P A_{1}} \cdot k_{P A_{2}} = \frac{3}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线C的渐近线方程为 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、双曲线C的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $k_{P A_{1}} \cdot k_{Q A_{1}}$ 为定值 D、 $\tan ∠ A_{1} P A_{2}$ 的取值范围为 $(0 ， + \infty)$

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12. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点M为 $C C_{1}$ 的中点，点P为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上的动点，则（）

A、满足MP//平面 $B D A_{1}$ 的点P的轨迹长度为 $\sqrt{2}$ B、满足 $M P ⊥ A M$ 的点P的轨迹长度为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、不存在点P，使得平面AMP经过点B D、存在点P满足 $P A + P M = 5$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若 $(x + \frac{a}{x}) {(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项是．

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14. 如图放置的边长为2的正方形ABCD顶点A，D分别在 $x$ 轴， $y$ 轴正半轴（含原点）上滑动，则 $\vec{O B} \cdot \vec{O C}$ 的最大值是．

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15. 已知 $⊙ C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，直线 $l$ ： $x + 2 y + 2 = 0$ ， $M$ 为直线 $l$ 上的动点，过点 $M$ 作 $⊙ C$ 的切线 $M A$ ， $M B$ ，切点为A， $B$ ，当四边形 $M A C B$ 的面积取最小值时，直线AB的方程为．

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16. 若不等式 $a (x + 1) e^{x} - x < 0$ 有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是．

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四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.

17. 在 $Δ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 $c = 2 b \cos B$ ， $C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、在下列两个条件中选择一个作为已知，求BC边上的中线AM的长．
① $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ；

② $Δ A B C$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ， $2 S_{n} = n a_{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n} b_{n + 1} = 2^{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，按照如下规律构造新数列 ${c_{n}}$ ： $a_{1} ， b_{2} ， a_{3} ， b_{4} ， a_{5} ， b_{6} ， a_{7} ， b_{8} ， \dots$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前2n项和.

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19. 如图（一）四边形ABCD是等腰梯形， $D C ∥ A B$ ， $D C = 2$ ， $A B = 4$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，过D点作 $D E ⊥ A B$ ，垂足为E点，将 $Δ A E D$ 沿DE折到 $Δ A^{'} E D$ 位置如图（二），且 $A^{'} C = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、证明：平面 $A^{'} E D ⊥$ 平面EBCD；

(2)、已知点P在棱 $A^{'} C$ 上，且 $\frac{A^{'} P}{P C} = \frac{1}{2}$ ，求平面 $C E P$ 与平面 $D E P$ 夹角的余弦值.

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20. 足球是一项大众喜爱的运动。2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.

(1)、为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到2

\times

2列联表如下：

	喜爱足球运动	不喜爱足球运动	合计
男性	60	40	100
女性	20	80	100
合计	80	120	200

依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?

(2)、校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第

n

次触球者是甲的概率记为

P_{n}

，即

P_{1} = 1

．

（i）求 $P_{3}$ （直接写出结果即可）；

（ii）证明：数列 ${P_{n} - \frac{1}{4}}$ 为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．

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21. 椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $E (1 ， 1)$ 且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；直线 $l$ 与椭圆 $C_{1}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且以 $A B$ 为直径的圆过原点.

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

(2)、若过原点的直线 $m$ 与椭圆 $C_{1}$ 交于 $C ， D$ 两点，且 $\vec{O C} = t (\vec{O A} + \vec{O B})$ ，求四边形 $A C B D$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - 1 ，$

(1)、求证： $f (x - 1) \leq 2 \sqrt{x} - 3$ ；

(2)、设函数 $g (x) = (x + 1) f (x) - \frac{1}{2} a x^{2} + 1$ ，若 $g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上存在最大值，求实数a的取值范围．

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