北京市通州区2021-2022学年高二上学期数学期中质量检测试卷

试卷更新日期：2022-08-15 类型：期中考试

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一、选择题

1. 直线 $y = x - 1$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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2. 已知直线 $l$ 经过点 $A (1 ， 1)$ ，且斜率为2，则直线 $l$ 的一般式方程为（）

A、 $y - 1 = 2 (x - 1)$ B、 $y = 2 x - 1$ C、 $2 x - y - 1 = 0$ D、 $x - 2 y + 1 = 0$

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3. 若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} ， 2 \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \vec{c} ， \vec{a} - \vec{b} ， \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} - \vec{b} ， \vec{a}$ D、 $\vec{a} + \vec{b} ， \vec{b} + \vec{c} ， \vec{a} + \vec{c}$

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4. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A_{1}} =$ （）

A、 $\vec{A C_{1}}$ B、 $\vec{C A_{1}}$ C、 $\vec{B D_{1}}$ D、 $\vec{D B_{1}}$

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5. 已知直线 $x + a y - 1 = 0$ 和直线 $a x + 4 y + 1 = 0$ 互相平行，则 $a$ 等于（）

A、2 B、-2 C、±2 D、0

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6. 圆 $(x - 5)^{2} + (y - 3)^{2} = 9$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 4 = 0$ 的位置关系是（）

A、内含 B、相交 C、外切 D、外离

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7. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $A (3 ， 4 ， 5)$ 在坐标平面 $O x y$ ， $O x z$ 内的射影分别为点 $B$ ， $C$ ，则 $| \vec{B C} | =$ （）

A、5 B、 $\sqrt{34}$ C、 $\sqrt{41}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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8. 已知点 $A (2 ， 1 ， 0)$ ， $B (2 ， 2 ， 1)$ ， $C (1 ， 2 ， 2)$ ， $D (0 ， 0 ， k)$ ，若 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点共面，则（）

A、 $k = 0$ B、 $k = 1$ C、 $k = 2$ D、 $k = - 1$

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9. 已知圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + a = 0$ 上有且只有两个点到直线 $3 x - 4 y - 5 = 0$ 的距离等于1，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4 ， 4)$ B、 $(- 4 ， 1)$ C、 $(1 ， 4)$ D、 $(2 ， 4)$

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10. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1}$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 6 0^{°}$ ，则 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成角的正弦值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、填空题

11. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为.

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12. 已知向量 $\vec{a} = (0 ， 1 ， - 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (1 ， 1 ， 0)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ$ 等于．

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13. 过点P（ $\sqrt{3}$ ，1）且与圆x²+y²=4相切的直线方程

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14. 经过点 $M (2 ， - 2)$ 以及圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ 交点的圆的方程为．

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15. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知点 $E$ ， $F$ 分别为直线 $B D$ ， $A D_{1}$ 上的动点，
给出下面四个结论：
①异面直线 $A D_{1}$ ， $B D$ 所成的角为 $6 0^{°}$ ；②点 $F$ 到平面 $B_{1} C_{1} C$ 的距离为定值；
③若 $F$ 为 $A D_{1}$ 中点，则点 $F$ 到 $B D$ 距离为 $\sqrt{2}$ ；④ $| \vec{E F} |$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
则其中所有正确结论的序号是．

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16. 如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，以 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 为基底，则用基底表示向量 $\vec{E F} =$ ； $| \vec{F E} | =$ ．

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三、解答题

17. 三角形的三个顶点分别是 $A (4 ， 0) ， B (6 ， 7) ， C (0 ， 3)$ ．

(1)、求 $A C$ 边所在的直线方程；

(2)、求 $A C$ 边上的高所在的直线方程．

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18. 已知圆 $M$ 过两点 $C (1 ， - 1)$ ， $D (- 1 ， 1)$ ，且圆心在直线 $x + y - 2 = 0$ 上．

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、试判断直线 $m$ ： $3 x + 4 y - 2 = 0$ 与圆 $M$ 是否相交；如果相交，求直线 $m$ 被圆 $M$ 截得的弦长．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为正方形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = A D = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ 和 $P B$ 的中点．

(1)、求证： $E F ∥$ 平面 $P D C$ ；

(2)、求平面 $E F C$ 与平面 $P D C$ 的夹角的余弦值．

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20. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，已知向量 $\overset{⇀}{A B} = (1 ， 0 ， 0)$ ， $\overset{⇀}{A C} = (0 ， 2 ， 0)$ ， $\vec{A D} = (0 ， 0 ， 3)$ ．

(1)、求向量 $\vec{A B}$ 在向量 $\vec{C B}$ 上的投影向量 $\vec{a}$ ；

(2)、求平面 $B C D$ 的法向量；

(3)、求点 $A$ 到平面 $B C D$ 的距离．

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21. 在棱长为2正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ ， $E$ 分别为 $B D$ 和 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 为 $C_{1} D_{1}$ 上的动点，平面 $O C_{1} D_{1}$ 与棱 $B C$ 交于点 $G$ ．

(1)、求证：点 $G$ 为 $B C$ 中点；

(2)、求证： $O F ⊥ C E$ ；

(3)、当 $D_{1} F$ 为何值时， $A B$ 与平面 $O F E$ 所成角的正弦值最大，并求出最大值．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知动圆的半径为1，且经过坐标原点 $O$ ，设动圆的圆心为 $A$ ．

(1)、求点 $A$ 的轨迹方程；

(2)、设点 $A$ 的轨迹与 $x$ 轴交于 $P$ ， $Q$ 两点（ $P$ 在 $Q$ 左侧），过点 $P$ 的直线 $l_{1}$ 交点 $A$ 的轨迹于点 $M$ （异于 $P$ ， $Q$ ），交直线 $l_{2}$ ： $x = 2$ 于点 $C$ ，经过 $Q$ ， $M$ 的直线交 $l_{2}$ 于点 $D$ ，求证以 $C D$ 为直径的圆过定点，并求出定点坐标．

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