江苏省南通市如皋市2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-15 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知首项为 $1$ 的正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{n + 1} (2 {a_{n}}^{2} + 4 n a_{n} + n^{2})}{n + 1} = {a_{n}}^{2}$ ，若 $a_{7} = \frac{7}{3^{λ} - 2}$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、64 B、60 C、48 D、32

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2. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆与双曲线的公共焦点， $P$ 是它们的一个公共点，且 $| P F_{1} | > | P F_{2} |$ ，线段 $P F_{1}$ 的垂直平分线过 $F_{2}$ ，若椭圆的离心率为 $e_{1}$ ，双曲线的离心率为 $e_{2}$ ，则 $\frac{2}{e_{1}} + \frac{e_{2}}{2}$ 的最小值为（）

A、6 B、3 C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程 $a^{2} - x^{2} = k y^{2}$ (k>0，k≠1，a≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A ， B两点)引垂线，垂足为Q ，则 $\frac{P Q^{2}}{A Q \cdot B Q}$ 为常数.据此推断，此常数的值为（）

A、椭圆的离心率 B、椭圆离心率的平方 C、短轴长与长轴长的比 D、短轴长与长轴长比的平方

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4. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q、P的距离之比 $\frac{| M Q |}{| M P |} = λ$ $(λ > 0 ， λ \neq 1)$ ，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，定点Q为x轴上一点， $P (- \frac{1}{2} ， 0)$ 且 $λ = 2$ ，若点 $B (1 ， 1)$ ，则 $2 | M P | + | M B |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{11}$

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5. 给出下列命题，其中是真命题个数的是（）
①若直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 2)$ ，直线 $m$ 的方向向量 $\vec{b} = (2 ， 1 ， - \frac{1}{2})$ ，则 $l$ 与 $m$ 平行②若直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a} = (0 ， 1 ， - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量 $\vec{n} = (1 ， - 1 ， - 1)$ ，则 $l ⊥ α$ ③若平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别为 ${\vec{n}}_{1} = (0 ， 1 ， 3)$ ， ${\vec{n}}_{2} = (1 ， 0 ， 2)$ ，则 $α ⊥ β$ ④若平面 $α$ 经过三点 $A (1 ， 0 ， - 1)$ ， $B (0 ， 1 ， 0)$ ， $C (- 1 ， 2 ， 0)$ ，向量 $\vec{n} = (1 ， u ， t)$ 是平面 $α$ 的法向量，则 $u + t = 1$ ⑤若点 $A (1 ， 2 ， 3)$ ， $B (1 ， - 1 ， 4)$ ，点 $C$ 是点 $A$ 关于平面 $y O z$ 的对称点，则点 $B$ 与 $C$ 的距离为 $\sqrt[]{14}$ ⑥若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $\dots$ 、 $x_{2021}$ 的方差为 $3$ ，则 $3 (x_{1} - 2)$ 、 $3 (x_{2} - 2)$ 、 $\dots$ 、 $3 (x_{2021} - 2)$ 的方差为27
⑦若 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 0 ， 2)$ ，则与 $\vec{a} + \vec{b}$ 共线的单位向量是 $\pm (0 ， \frac{\sqrt[]{5}}{5} ， \frac{2 \sqrt[]{5}}{5})$

A、2 B、3 C、5 D、4

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6. 对于数列 ${\begin{array}{l} a_{n} \end{array}}$ ，若存在正整数 $k (k \geq 2)$ ，使得 $a_{k} < a_{k - 1}$ ， $a_{k} < a_{k + 1}$ ，则称 $a_{k}$ 是数列 ${\begin{array}{l} a_{n} \end{array}}$ 的“谷值”， $k$ 是数列 ${\begin{array}{l} a_{n} \end{array}}$ 的“谷值点” $.$ 在数列 ${\begin{array}{l} a_{n} \end{array}}$ 中，若 $a_{n} = | n + \frac{9}{n} - 8 |$ ，则数列 ${\begin{array}{l} a_{n} \end{array}}$ 的“谷值点”为（）

A、2 B、7 C、2，7 D、2，3，7

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7. 对于数列 ${a_{n}}$ ，定义 $A_{n} = \frac{a_{1} + 2 a_{2} + \dots + 2^{n - 1} a_{n}}{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的“好数”，已知某数列 ${a_{n}}$ 的“好数” $A_{n} = 2^{n + 1}$ ，记数列 ${a_{n} - k n}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} \leq S {}_{6}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{9}{4} ， \frac{16}{7}]$ B、 $[\frac{16}{7} ， \frac{7}{3}]$ C、 $[\frac{7}{3} ， \frac{12}{5}]$ D、 $[\frac{12}{5} ， \frac{5}{2}]$

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8. 已知正四面体 $A - B C D$ 的边长为 $2 \sqrt{2}$ ，点P、Q分别为线段 $A B$ ， $C D$ 上的动点，满足 ${| A P |}^{2} + {| C Q |}^{2} = 4$ ， M为线段 $P Q$ 的中点，则 $| A M |$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{3 + \sqrt{2}}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{ν}$ 是直线 $l$ 方向向量， $l ⊥$ 平面 $α$ ，则 $λ \vec{ν} (λ \in R)$ 是平面 $α$ 的一个法向量； B、坐标平面内过点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 的直线可以写成 $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) = 0 (A^{2} + B^{2} \neq 0)$ ； C、直线 $l$ 过点 $(- 2 ， 3)$ ，且原点到 $l$ 的距离是2，则 $l$ 的方程是 $5 x + 12 y - 26 = 0$ ； D、设二次函数 $y = (x - 2019) (x + 2020)$ 的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为 $(0 ， 1)$ .

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10. 定义空间两个向量的一种运算 $\vec{a} \otimes \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | s i n < \vec{a}$ ， $\vec{b} >$ ，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）

A、 $\vec{a} \otimes \vec{b} = \vec{b} \otimes \vec{a}$ B、 $λ (\vec{a} \otimes \vec{b}) = (λ \vec{a}) \otimes \vec{b}$ C、 $(\vec{a} + \vec{b}) \otimes \vec{c} = (\vec{a} \otimes \vec{c}) + (\vec{b} \otimes \vec{c})$ D、若 $\vec{a} = (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，则 $\vec{a} \otimes \vec{b} = | x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} |$

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11. 下列说法正确的是（）

A、椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上任意一点 $($ 非左右顶点 $)$ 与左右顶点连线的斜率乘积为 $- \frac{b^{2}}{a^{2}}$ B、过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 焦点的弦中最短的弦长为 $\frac{2 b^{2}}{a}$ C、抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，则弦 $A B$ 经过焦点的充要条件是 $x_{1} x_{2} = \frac{p^{2}}{4}$ D、若直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 只有一个公共点，则直线与该抛物线相切

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12. 有一列数： $1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8$ ， $\dots$ ，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和 $.$ 人们把这样的一列数组成的数列 ${a_{n}}$ 称为斐波那契数列，又称黄金分割数列 $($ 当 $n$ 趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 $0.618) .$ 在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列 ${a_{n}}$ 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为 ${b_{n}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $b_{2019} = 3$ B、 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + ⋯ + b_{2020} = 2695$ C、 $n \geq 2 ， n \in N^{*}$ ，若数列 ${a_{n} + λ \cdot a_{n - 1}}$ 为等比数列，公比为 $q$ ，则 $λ = q + 1$ D、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{n} = a_{n + 2} - 1$

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三、填空题

13. 已知点 $M (- 1 ， 1)$ 和抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ ，过 $C$ 的焦点且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．若 $∠ A M B = 90 °$ ，则 $k =$ ．

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14. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 2^{2} a_{3} + ⋯ + 2^{n - 1} a_{n} = \frac{1}{3} (n + 1) n (n - 1)$ ，若对任意 $λ > 0$ ，所有的正整数n都有 $λ^{2} - k λ + 2 > a_{n}$ 成立，则实数k的取值范围是.

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15. 已知点 $P$ 是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上一动点，且满足 $| P A | = 2 | P B |$ ，设 $P D_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $θ$ ，则 $θ$ 的最大值是.

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16. 已知双曲线 $C$ 的右焦点为 $F (2 ， 0)$ ，且 $C$ 经过点 $A (4 ， 3 \sqrt{5})$ ，则双曲线 $C$ 的标准方程为；若直线 $A F$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ ，点 $P (x ， y)$ 是 $C$ 右支上一动点，且 $y \in (- 3 \sqrt{5} ， 3 \sqrt{5})$ ，直线 $A P$ 与以 $A B$ 为直径的圆相交于另一点 $D$ ，则 $| P A | \cdot | P D |$ 的最大值是．

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四、解答题

17. 在① $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ， ② $b_{n} - 20 = a_{n} - a_{n + 1}$ ， ③ $b_{n} = l g \frac{a_{n}}{a_{n + 1}}$ 这三个条件中任选一个，补充下面的问题中，若问题中的 $λ$ 存在，求 $λ$ 的最小整数值；若 $λ$ 不存在，请说明理由．
问题：设数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{3} + \frac{a_{3}}{4} + ⋯ + \frac{a_{n}}{n + 1} = n^{2} + n$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．若______，则是否存在 $λ$ ，使得 $S_{n} \leq λ$ ？

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18. 直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{0} ， A C = 4 ， B C = 2 ， E$ 是 $A C$ 的中点， $F$ 是线段 $A B$ 上一个动点，且 $\overset{⇀}{A F} = λ \overset{⇀}{A B} (0 < λ < 1)$ ，如图所示，沿 $B E$ 将 $Δ C E B$ 翻折至 $Δ D E B$ ，使得平面 $D E B ⊥$ 平面 $A B E$ ．

(1)、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，证明： $B D ⊥$ 平面 $D E F$ ；

(2)、是否存在 $λ$ ，使得 $D F$ 与平面 $A D E$ 所成的角的正弦值是 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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19. 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直， $A B = 2$ ， $∠ A B C = 6 0^{∘}$ ， M是AB的中点．

(1)、求证： $E M ⊥ A D$ ；

(2)、求二面角 $A - B E - C$ 的余弦值；

(3)、在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为 $4 5^{∘}$ ，若存在，求出 $\frac{E P}{E C}$ 的值；若不存在，说明理由．

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20. 在平面 $x O y$ 中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (2 ， 1)$ ，且离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 方程为 $y = \frac{1}{2} x + m$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $Δ P A B$ 面积的最大值.

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21. 已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0，

(1)、求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；

(2)、若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.

(3)、若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当 $P A + \frac{3}{2} P B$ 取最小值时，求直线的方程.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 3} (n \in N^{*})$ ；

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ；

(2)、求证： ${\frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{2}}$ 是等比数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(3)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = (3^{n} - 1) \cdot \frac{n}{2^{n}} \cdot a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若不等式 $(- 1)^{n} λ < T_{n} + \frac{n}{2^{n - 1}}$ 对一切 $n \in N^{+}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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