江苏省南京市2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-15 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 直线 $y = - \sqrt{3} x + 1$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

查看试题解析
2. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

查看试题解析
3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $| \vec{b} |$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

查看试题解析
4. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $(3 ， 1)$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 的对称点为（）

A、 $(4 ， 0)$ B、 $(0 ， 4)$ C、 $(2 ， - 1)$ D、 $(- 1 ， 2)$

查看试题解析
5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P (m ， - 4)$ 在抛物线上，则 $P F$ 的长为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
6. 平面直角坐标系 $x O y$ 中， $P$ 为圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 上的动点，过点 $P$ 引圆 $C_{2}$ ： ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，切点为 $T$ ，则满足 $P T = \sqrt{3} P O$ 的点 $P$ 有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

查看试题解析
7. 已知A，B，C，D是球 $O$ 表面上的四点，其中 $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，若点 $D$ 到平面 $A B C$ 距离的最大值为3，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $4 π$ C、 $16 π$ D、 $\frac{32 π}{3}$

查看试题解析
8. 哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB和两个圆弧AC，弧BC围成，其中一个圆弧的圆心为A，另一个圆弧的圆心为B，圆 $O$ 与线段AB及两个圆弧均相切，则tan∠AOB的值是（）

A、 $- \frac{24}{7}$ B、 $- \frac{7}{24}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则（）

A、 $| z | = 2$ B、 $z^{2} = 2 i$ C、 $z$ 的共轭复数为 $1 - i$ D、 $z$ 的虚部为1

查看试题解析
10. 抛掷一颗骰子，将“结果向上的点数大于3”记为事件 $A$ ， “结果向上的点数小于4”记为事件 $B$ ， “结果向上的点数是3的倍数”记为事件 $C$ ，则（）

A、 $A$ 与 $B$ 对立 B、 $B$ 与 $C$ 互斥 C、 $A$ 与 $C$ 相互独立 D、 $A + C = B + C$

查看试题解析
11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 经过点 $(- 2 \sqrt{3} ， 0)$ ， $(0 ， 2)$ ，则（）

A、圆 $C$ 的半径大于2 B、圆心 $C$ 不可能在第一象限 C、当圆心 $C$ 在 $x$ 轴上时，圆 $C$ 的周长为 $4 π$ D、当圆心 $C$ 在第四象限时，圆 $C$ 截 $y$ 轴所得的弦长大于8

查看试题解析
12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，方程 $x^{2} + | y | = 2$ 对应的曲线为 $E$ ，则（）

A、曲线 $E$ 是封闭图形，其围成的面积大于 $4 \sqrt{2}$ B、曲线 $E$ 关于原点中心对称 C、曲线 $E$ 上的点到原点距离的最小值为 $\sqrt{2}$ D、曲线 $E$ 上的点到直线 $x + y = 4$ 距离的最小值为 $\frac{7 \sqrt{2}}{8}$

查看试题解析

三、填空题

13. 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在 $[50 ， 60]$ 的汽车大约有辆.

查看试题解析
14. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $s i n (α - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n α$ 的值为．

查看试题解析
15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $m x - y + 2 = 0$ 与曲线 $y = \sqrt{- x (x + 2)}$ 有两个不同的公共点，则实数 $m$ 的取值范围是．

查看试题解析
16. 已知椭圆 $E$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 为椭圆上一点，且 $t a n ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{1}{3}$ ， $t a n ∠ P F_{2} F_{1} = - 3$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为．

查看试题解析

四、解答题

17. 某位射击运动员射击1次，命中环数的概率如下表所示：
命中环数
$\leq 5$ 环
6环
7环
8环
9环
10环
概率
0.05
0.1
0.15
0.25
0.3
0.15

(1)、若规定射击1次，命中8环及以上为“成绩合格”，求该运动员射击1次“成绩合格”的概率；

(2)、假设该运动员每次射击互不影响，求该名运动员射击2次，共命中18环的概率．

查看试题解析
18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 经过 $O (0 ， 0)$ ， $A (1 ， 1)$ ， $B (4 ， 2)$ 三点．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若经过点 $(\frac{3}{2} ， \frac{9}{2})$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $∠ M C N = 120 °$ ，求直线 $l$ 的方程．

查看试题解析
19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、斜率为 $\sqrt{2}$ 的直线 $l$ 经过椭圆 $E$ 的右焦点，且与椭圆 $E$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点．已知点 $P (- 3 ， 0)$ ，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的值．

查看试题解析
20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B A D = 9 0^{∘}$ ．

(1)、若 $A D = 2 B C$ ， $M$ 为 $P D$ 的中点，求证： $M C / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $△ P A D$ 是边长为 $3$ 的正三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$ ，且 $A B = B C$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积．

查看试题解析
21. 请在① $a c o s C + \frac{3}{5} c = b$ ， ② $2 b s i n \frac{B + C}{2} = \sqrt{5} a s i n B$ ， ③ $S = \frac{1}{3} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ．已知____， $a = 6$ ．

(1)、若 $b = \frac{15}{4}$ ，求角 $B$ ；

(2)、若 $M$ 是线段 $A C$ 上一点， $M B ⊥ A B$ ，且 $M B ： M C = 5 ： 2$ ，求 $S$ 的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $(3 ， 0)$ ，且经过点 $(2 \sqrt{2} ， 1)$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $A$ ， $B$ 是双曲线 $C$ 上关于原点对称的两点，垂直于 $A B$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 有且仅有一个公共点 $P$ ．当点 $P$ 位于第一象限，且 $△ P A B$ 被 $x$ 轴分割为面积比为 $3 ： 2$ 的两部分时，求直线 $A B$ 的方程．

查看试题解析

命中环数	$\leq 5$ 环	6环	7环	8环	9环	10环
概率	0.05	0.1	0.15	0.25	0.3	0.15