江苏省连云港市东海县2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-15 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在等差数列{ $a_{n}$ }中，若 $a_{2} = 1$ ，公差d=2，则 $a_{6}$ =（）

A、9 B、11 C、3 D、6

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2. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + 8 = 0$ 的半径为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、l

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3. 若直线l经过点A( $2 \sqrt{3}$ ，－1)，B( $\sqrt{3}$ ， 2)，则l的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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4. 若直线 $a x - y - a + 1 = 0$ 与直线 $x - a y + 3 a - 3 = 0$ 平行，则实数a的值为（）

A、0 B、－1 C、1 D、－1或1

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5. 以双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{13} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{13} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{13} + \frac{y^{2}}{11} = 1$

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6. 在数列{ $a_{n}$ }中， $a_{1}$ =2， $a_{n + 1} a_{n} = a_{n} - 1$ ， $a_{2022} =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、－1

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7. 已知点A(2，1)，点B为两条直线 $y = k x - 2 k + 1$ 与x+y－1=0的交点，则|AB|的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 已知点F为抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $F^{'} (- 1 ， 0)$ ，若点Р为抛物线C上的动点，当 $\frac{| P F^{'} |}{| P F |}$ 取得最大值时，点P恰好在以F， $F^{'}$ 为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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二、多选题

9. 若AC>0，BC<0，则直线Ax＋By+C=0经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10. 已知双曲线 $W ： \frac{x^{2}}{2 + m} - \frac{y^{2}}{m + 1} = 1$ ，（）

A、 $m \in (- 2 ， - 1)$ B、若W的顶点坐标为 $(0 ， \pm \sqrt{2})$ ，则 $m = - 3$ C、W的焦点坐标为 $(\pm 1 ， 0)$ D、若 $m = 0$ ，则W的渐近线方程为 $x \pm \sqrt{2} y = 0$

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11. 过点 $P (2 ， 1)$ 作圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（）

A、 $| P A | = \sqrt{3}$ B、四边形PAOB的外接圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 2 x + y$ C、直线AB方程为y=2x+1 D、三角形PAB的面积为 $\frac{8}{5}$

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12. 已知F₁、F₂是椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的左右焦点，A、B为其左右顶点，点P是椭圆E上任一点(异于A、B)，则下列结论正确的是（）

A、|PF₁|+|PF₂|=2a B、直线PF₁和PF₂的斜率之积为 $- \frac{a^{2}}{b^{2}}$ C、 $b^{2} < | P F_{1} | \cdot | P F_{2} | \leq a^{2}$ D、直线PA和PB的斜率之积为 $- \frac{b^{2}}{a^{2}}$

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三、填空题

13. 两条平行直线 $3 x - 4 y + 6 = 0$ 与 $3 x - 4 y - 4 = 0$ 间的距离为.

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14. 写出一个对称中心在坐标原点并同时满足下列条件的椭圆方程：.
①焦点在x轴上；②离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

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15. 学校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位，则第1排应安排个座位.

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16. 已知点Р为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)上任一点，点Р到双曲线两条渐近线的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，若 $3 a^{2} + b^{2} \leq 8 d_{1} d_{2}$ ，则该双曲线离心率的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知圆 $M_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 与圆 $M_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + 8 x + a = 0$ 外切.

(1)、求实数a的值；

(2)、若直线 $x - \sqrt{2} y + 1 = 0$ 与圆 $M_{2}$ 交于A，B两点，求弦AB的长.

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18. 在① $a_{n + 2} - a_{n} = 4$ ， ② $a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} + a_{n} = 0$ ， ③ $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = a n^{2} + b n$ 这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中并作答.
问题：在数列{ $a_{n}$ }中，已知 $a_{1}$ =1， $a_{2}$ =3，且____.

(1)、求数列{ $a_{n}$ }的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{2 n}$ ，求数列{ $b_{n}$ }的前n项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

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19. 已知直线l： $(4 λ + 1) x - (λ + 1) y + 3 = 0$ .

(1)、求证：直线l过定点；

(2)、若直线l被两平行直线 $l_{1}$ ： $x - 2 y + 2 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $x - 2 y - 6 = 0$ 所截得的线段AB的中点恰好在直线 $2 x + y + 6 = 0$ 上，求 $λ$ 的值.

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20. 已知点A(4，y₀)在抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ (p>0)上，F是抛物线C的焦点，|AF|=5.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、设点A在第一象限，过点A的直线l与抛物线C相切，若直线m与直线AF关于l对称，求直线m的方程.

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21. 在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l： $x = \frac{3}{2}$ 的距离之比是常数 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，记P的轨迹为曲线E.

(1)、求曲线E的方程；

(2)、设过点A( $\sqrt{3}$ ， 0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0) ， F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ，点M满足 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 4$ .记M的轨迹为C.

(1)、求C的方程；

(2)、点T在直线x=4上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求证： $k_{A B} + k_{P Q}$ 为定值.

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