江苏省连云港市2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-15 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线过 $A (2 ， 2 \sqrt{3}) ， B (1 ， a)$ 两点，则实数 $a =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的准线方程是（）

A、 $x = - \frac{1}{2}$ B、 $x = - \frac{1}{8}$ C、 $y = - \frac{1}{8}$ D、 $y = - \frac{1}{2}$

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3. 若三条直线 $2 x + k y + 8 = 0 ， x - y - 1 = 0$ 和 $2 x - y = 0$ 交于一点，则 $k$ 的值为（）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、3 D、 $\frac{1}{2}$

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4. 点 $(1 ， 1)$ 关于直线 $l ： x + y + 2 = 0$ 对称的点的坐标为（）

A、 $(- 1 ， - 1)$ B、 $(- 2 ， - 2)$ C、 $(0 ， 0)$ D、 $(- 3 ， - 3)$

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5. 已知圆 $E ： x^{2} - a x + y^{2} - 2 y - 2 = 0$ 关于直线 $l ： x - y = 0$ 对称，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

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6. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形 $A B C D$ 截某圆锥得到椭圆 $τ$ ，且 $τ$ 与矩形 $A B C D$ 的四边相切．设椭圆 $τ$ 在平面直角坐标系中的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，下列选项中满足题意的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{65} + \frac{y^{2}}{81} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{100} = 1$

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7. 过点 $M (2 ， 1)$ 的直线 $l$ 与圆 $C ： (x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A ， B$ 两点，当 $∠ A C B$ 最小时，直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x - y = 0$ B、 $x + y - 3 = 0$ C、 $x - y + 3 = 0$ D、 $x + y - 1 = 0$

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，右焦点为 $F ， P$ 为双曲线渐近线上一点，且 $P F ⊥ A F$ ，若 $t a n ∠ P A F = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、直线 $y = a x - 2 a (a \in R)$ 必过定点 $(2 ， 0)$ B、直线 $y + 1 = 3 x$ 在 $y$ 轴上的截距为1 C、直线 $x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $12 0^{∘}$ D、过点 $(- 2 ， 3)$ 且垂直于直线 $x - 2 y + 3 = 0$ 的直线方程为 $2 x + y + 1 = 0$

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10. 关于 $x ， y$ 的方程 $\frac{x^{2}}{m^{2} + 2} + \frac{y^{2}}{6 - m^{2}} = 1$ （其中 $m^{2} \neq 6$ ）表示的曲线可能是（）

A、焦点在 $y$ 轴上的双曲线 B、圆心为坐标原点的圆 C、焦点在 $x$ 轴上的双曲线 D、长轴长为 $4 \sqrt{2}$ 的椭圆

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11. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C$ ，点 $B (- 2 ， 4)$ ，点 $C (5 ， - 3)$ ，且其“欧拉线”与圆 $M ： (x - 5)^{2} + y^{2} = r^{2}$ 相切，则（）

A、"欧拉线"方程为 $x - y + 1 = 0$ B、圆 $M$ 上点到“欧拉线”的最大距离为 $4 \sqrt{2}$ C、若点 $(x ， y)$ 在圆 $M$ 上，则 $x + y$ 的最小值是1 D、若点 $(x ， y)$ 在圆 $M$ 上，则 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y$ 的取值范围是 $[- 11 ， 37]$

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12. 十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程 $a^{2} - x^{2} = k y^{2} (k > 0$ ， $k \neq 1 ， a \neq 0)$ 表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质．若从椭圆上任意一点 $P ($ 异于 $A ， B$ 两点）向长轴 $A B$ 引垂线，垂足为 $Q$ ，记 $M = \frac{| P Q |^{2}}{| A Q | \cdot | B Q |}$ ，则（）

A、方程 $a^{2} - x^{2} = k y^{2} (k > 0 ， k \neq 1 ， a \neq 0)$ 表示的椭圆的焦点落在 $x$ 轴上 B、M的值与P点在椭圆上的位置无关 C、 $e = \sqrt{M - 1}$ D、M越来越小，椭圆越来越扁

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三、填空题

13. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ 的一个焦点为 $F (2 ， 0)$ ，则实数 $m =$ ．

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14. 直线 $l ： y = 2 x - 4$ 过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 的焦点 $F$ ，与 $C$ 交于 $A ， B$ 俩点，则 $| A B | =$ ．

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15. 已知点 $F_{1}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，过原点作直线 $l$ 交椭圆于 $A ， B$ 两点， $M ， N$ 分别是 $A F_{1} ， B F_{1}$ 的中点，若 $O M ⊥ O N$ ，则椭圆的离心率的范围是．

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16. 若不等式 $\sqrt{x^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - 6)^{2} + (y - 8)^{2}} + \sqrt{(x - 3)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - 3)^{2} + (y - 8)^{2}} ⩾ m$ 对于任意的实数 $x ， y$ 恒成立，则 $m$ 的最大值是，此时 $x + y =$ ．

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四、解答题

17. 已知直线 $l_{1} ， l_{2}$ 的方程为： $l_{1} ： x + 2 y + 1 = 0 ， l_{2} ： (a - 1) x - (a + 1) y - 1 = 0$ ．设 $a$ 为实数，分别根据下列条件求 $a$ 的值．

(1)、 $l_{1} / / l_{2}$ ；

(2)、 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ．

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18. 已知直线 $l$ 经过两条直线 $2 x + 3 y + 8 = 0$ 和 $x - y - 1 = 0$ 的交点，且__________，若直线 $m$ 与直线 $l$ 关于点 $(1 ， 0)$ 对称，求直线 $m$ 的方程．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．①与直线 $3 x + 2 y + 8 = 0$ 垂直；②在 $y$ 轴上的截距为 $\frac{1}{2}$ ．

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19. 已知离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 的双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线与抛物线 $D ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线分别交于 $A ， B$ 两点，且三角形 $O A B$ 面积为 $\sqrt{3} (O$ 为坐标原点）．

(1)、求双曲线 $C$ 的浙近线方程；

(2)、求实数 $p$ 的值．

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20. 若圆C过两点A（0，4），B（4，6），且圆心在直线 $x - 2 y - 2 = 0$ 上．

(1)、求圆C的方程

(2)、过点P（－1，0）向圆引两条切线，切点分别为 $E ， F ，$ 求 $E F$ 的长．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{4}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，离心率为e，从第一象限内椭圆 $C$ 上一点P向x轴作垂线，垂足为F，且tan∠POF＝e，△POF的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2} .$

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若直线l//PO，椭圆C与直线l的交于A，B两点，求△APB的面积的最大值．

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22. 已知抛物线 $C_{1} ： y^{2} = a x (a > 0)$ 和 $C_{2} ： y^{2} = 4 a x$ 的焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，且 $F_{1} F_{2} = 3$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若点 $A$ 和 $B$ 是直线 $y = k x$ 分别与抛物线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的交点（异于原点），连接 $A F_{1}$ 并延长交抛物线 $C_{1}$ 于 $D$ ，连接 $B F_{2}$ 并延长交抛物线 $C_{2}$ 于 $E$ ，求 $\frac{O E}{O D}$ 的值．

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