江苏省淮安市淮安区2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-15 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知直线 $l$ 过点 $A (- 1 ， \sqrt{3})$ ， $B (2 ， - 2 \sqrt{3})$ 两点，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

查看试题解析
2. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的准线方程为（）

A、 $x = \frac{1}{2}$ B、 $y = - \frac{1}{2}$ C、 $y = - \frac{1}{8}$ D、 $x = \frac{1}{8}$

查看试题解析
3. 已知圆的一条直径的端点分别是 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， - 4)$ ，则该圆的方程为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 8$ C、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 32$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 32$

查看试题解析
4. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{k + 2} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的一个焦点坐标为 $(0 ， 2)$ ，则 $k$ 的值为（）

A、1 B、3 C、9 D、81

查看试题解析
5. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的虚轴长是实轴长的2倍，则其顶点到渐近线的距离为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$

查看试题解析
6. 过点 $(0 ， 2)$ 作与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 相切的直线l，则直线l的方程为（）

A、 $3 x - 4 y + 8 = 0$ B、 $3 x + 4 y - 8 = 0$ C、 $x = 0$ 或 $3 x + 4 y - 8 = 0$ D、 $x = 0$ 或 $3 x - 4 y - 8 = 0$

查看试题解析
7. 已知直线 $a_{1} x + b_{1} y + 1 = 0$ 和直线 $a_{2} x + b_{2} y + 1 = 0$ 都过点 $A (3 ， 1)$ ，则过点 $P_{1} (a_{1} ， b_{1})$ 和点 $P_{2} (a_{2} ， b_{2})$ 的直线方程是（）

A、 $3 x + y + 1 = 0$ B、 $3 x - y + 1 = 0$ C、 $3 x + y - 1 = 0$ D、 $x + 3 y + 1 = 0$

查看试题解析
8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 $B (- 2 ， 0)$ ，若将军从山脚下的点 $A (1 ， 0)$ 处出发，河岸线所在直线的方程为 $x + y = 3$ ，则“将军饮马”的最短总路程为（）

A、 $\sqrt{27}$ B、5 C、 $\sqrt{15}$ D、 $\sqrt{29}$

查看试题解析

二、多选题

9. 下列说法错误的是（）

A、平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B、点 $(0 ， 2)$ 关于直线 $y = x + 1$ 的对称点为 $(1 ， 1)$ C、直线 $x - y - 2 = 0$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D、经过点 $(1 ， 1)$ 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$

查看试题解析
10. 已知双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线C的渐近线方程为 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、双曲线C的实轴长为8 C、双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D、双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为 $\frac{9}{4}$

查看试题解析
11. 已知点P是直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 上的动点，定点 $Q (1 ， 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、线段PQ的长度的最小值为 $\frac{4}{5}$ B、当PQ最短时，直线PQ的方程是 $3 x + 4 y - 7 = 0$ C、当PQ最短时P的坐标为 $(\frac{13}{25} ， \frac{41}{25})$ D、线段PQ的长度可能是 $\frac{2}{3}$

查看试题解析
12. 已知 $△ A B C$ 的两个顶点 $A ， B$ 的坐标分别是 $(- 5 ， 0) ， (5 ， 0)$ ，且 $A C ， B C$ 所在直线的斜率之积等于 $m (m \neq 0)$ 且斜率之差等于 $n$ ，则正确的是（）

A、当 $m > 0$ 时，点 $C$ 的轨迹是双曲线. B、当 $m = - 1$ 时，点 $C$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 上运动. C、当 $m < - 1$ 时，点 $C$ 所在的椭圆的离心率随着 $m$ 的增大而增大. D、无论n如何变化，点 $C$ 的运动轨迹是轴对称图形.

查看试题解析

三、填空题

13. 两条平行直线 $x - 2 y - 1 = 0$ 和 $2 x - 4 y = - 3$ 之间的距离是.

查看试题解析
14. 已知圆 $(x - 6)^{2} + (y - 8)^{2} = 4$ 的圆心为 $C ， O$ 为坐标原点，则以 $O C$ 为直径的圆的标准方程为.

查看试题解析
15. 若圆 $C_{1}$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2}$ ： ${(x - 4)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = r^{2}$ （ $r > 0$ ）相交，则正数 $r$ 的取值范围为.

查看试题解析
16. 在直角平面坐标系 $x O y$ 中， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，与双曲线左、右两支分别交于点 $A ， B$ ，若 $| F_{2} B | = | A B |$ ，则 $b$ 的值是．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知两条直线 $l_{1} ： (3 + m) x + 4 y = 5 - 3 m$ ， $l_{2} ： 2 x + (5 + m) y = 8$ ；求 $m$ 为何值时， $l_{1}$ 与 $l_{2}$

(1)、平行；

(2)、垂直.

查看试题解析
18. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
①与直线 $4 x - 3 y + 5 = 0$ 垂直；②过点 $(5 ， - 5)$ ；③与直线 $3 x + 4 y + 2 = 0$ 平行.

问题：已知直线 $l$ 过点 $P (1 ， - 2)$ ，且____.

(1)、求直线 $l$ 的一般式方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 相交于点 $P$ ， $Q$ ，求弦 $P Q$ 的长.

查看试题解析
19. 在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 三个顶点坐标分别为 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ， $C (0 ， - 4)$ ，经过这三个点的圆记为 $M$ ．

(1)、求 $B C$ 边的中线所在直线的一般式方程；

(2)、求圆 $M$ 的一般方程．

查看试题解析
20. 已知椭圆 $C_{1}$ 的中心在原点，离心率为 $\frac{4}{5}$ ，焦点在 $x$ 轴上且长轴长为10．过双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点 $F_{2}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线交双曲线 $C_{2}$ 于 $M ， N$ 两点．

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、若双曲线 $C_{2}$ 与椭圆 $C_{1}$ 有公共的焦点，且以 $M N$ 为直径的圆恰好过双曲线的左顶点 $A$ ，求双曲线 $C_{2}$ 的标准方程．

查看试题解析
21. 直线 $y = a x + 1$ 与双曲线 $3 x^{2} - y^{2} = 1$ 相较于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、若 $a = 2$ ，求线段 $A B$ 长；

(2)、当 $a$ 为何值时，以 $A B$ 为直径的圆经过坐标原点？

查看试题解析
22. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p \in N^{*})$ 与直线 $l ： y = x + b$ 相交于 $A ， B$ 两点，线段 $A B$ 中点 $E$ 的横坐标为5，且抛物线 $C$ 的焦点到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$ .

(1)、求 $p$ ， $b$ 的值；

(2)、已知点 $Q$ 为抛物线 $C$ 上一动点，点 $M (m ， 0)$ 为 $x$ 轴上一点，求线段 $Q M$ 长最小值.

查看试题解析