河北省唐山市滦南县2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-15 类型：期中考试

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一、单选题

1. 过点 $A (\sqrt{3} ， 1)$ 且倾斜角为 $120 °$ 的直线方程为（）

A、 $y = - \sqrt{3} x - 4$ B、 $y = - \sqrt{3} x + 4$ C、 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - 2$ D、 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2$

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2. 若直线l的方向向量为 $\vec{a} = (- 1 ， 0 ， - 2)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{u} = (4 ， 0 ， 8)$ ，则（）

A、 $l / / α$ B、 $l ⊥ α$ C、 $l \subset α$ D、l与 $α$ 斜交

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3. 点M，N是圆 $x^{2} + y^{2} + k x + 2 y - 4$ ＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、9

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4. 在棱长为a的正方体ABCD- $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，向量 $\vec{B A_{1}}$ 与向量 $\vec{A C}$ 所成的角为（）

A、60° B、150° C、90° D、120°

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5. 已知 $△ A B C$ 三顶点为 $A (- 1 ， - 4)$ 、 $B (5 ， 2)$ 、 $C (3 ， 4)$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

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6. 已知直线 $(3 - 2 k) x - y - 6 = 0$ 不经过第一象限，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{3}{2})$ B、 $(- \infty ， \frac{3}{2}]$ C、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ D、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$

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7. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 m y - 4 - 4 m = 0 (m \in R)$ ，则当圆 $C$ 的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、6 C、 $\sqrt{5} - 1$ D、 $\sqrt{5} + 1$

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8. 在同一坐标系下，直线ax＋by＝ab和圆 $(x － a)^{2}$ ＋ $(y － b)^{2}$ ＝ $r^{2}$ （ab≠0，r＞0）的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

9. 平行于直线 $x + y + 1 = 0$ ，且与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相切的直线的方程是（）

A、 $x + y + 2 \sqrt{2} = 0$ B、 $x + y - 2 = 0$ C、 $x + y - 2 \sqrt{2} = 0$ D、 $x + y + 2 = 0$

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10. 已知直线l： $\sqrt{3} x - y + 1$ ＝0，则下列结论正确的是（）

A、直线l的倾斜角是 $\frac{π}{6}$ B、若直线m： $x + \sqrt{3} y + 1$ ＝0，则l⊥m C、点 $(\sqrt{3} ， 0)$ 到直线l的距离是2 D、过 $(2 \sqrt{3} ， 2)$ 与直线l平行的直线方程是 $\sqrt{3} x - y - 4 = 0$

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11. 已知圆 $A ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、圆 $A$ 的半径为4 B、圆 $A$ 截 $y$ 轴所得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ C、圆 $A$ 上的点到直线 $3 x - 4 y + 12 = 0$ 的最小距离为1 D、圆 $A$ 与圆 $B ： x^{2} + y^{2} - 8 x - 8 y + 23 = 0$ 相离

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12. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 1$ ， $A B = A D = \sqrt{3}$ ， $E$ 是侧面 $A A_{1} D_{1} D$ 的中心， $F$ 是底面 $A B C D$ 的中心，以 $A$ 为坐标原点， $A B$ ， $A D$ ， $A A_{1}$ 所在直线分别为 $x ， y ， z$ 轴建立空间直角坐标系，则（）

A、 $\vec{E F}$ 是单位向量 B、 $\vec{n} = (1 ， 0 ， \sqrt{3})$ 是平面 $A_{1} B C$ 的一个法向量 C、直线 $E F$ 与 $A_{1} C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ D、点 $E$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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三、填空题

13. 已知两个平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别是 $\vec{n_{1}} = (1 ， x ， 2)$ 和 $\vec{n_{2}} = (3 ， 6 ， y)$ ，若 $α / / β$ ，则 $y - x =$ ．

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14. 经过点 $A (4 ， 2)$ ，且在 $x$ 轴上的截距等于在 $y$ 轴上的截距的3倍的直线 $l$ 的方程的一般式为．

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15. 如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G是AE的中点，若 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 分别记为 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，则用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{O G}$ 的结果为 $\vec{O G} =$ ．

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16. 圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，则圆的方程为．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $A (2 ， 5)$ ， $B (1 ， 3)$

(1)、求AB边的垂直平分线所在的直线方程；

(2)、若 $∠ B A C$ 的角平分线所在的直线方程为 $x - y + 3 = 0$ ，求AC所在直线的方程.

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18. 如图，已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} ， A B$ ＝ $2 ， A A_{1}$ ＝1，直线BD与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求异面直线AE与BF所成的角的余弦；

(2)、求点A到平面BDF的距离．

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19.

(1)、已知点P(x，y)在圆C：x²＋y²－6x－6y＋14＝0上，求x²＋y²＋2x＋3的最大值与最小值．

(2)、已知实数x，y满足(x－2)²＋y²＝3，求 $\frac{y - 1}{x}$ 的最大值与最小值．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ D A B = 45 °$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A P ⊥ B D$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $A B = \sqrt{2}$ ，PB与平面 $A P D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求二面角 $B - P C - D$ 的余弦值．

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21. 已知点P在圆C： $(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2}$ ＝16上运动，点Q（4，3）．

(1)、若点M是线段PQ的中点．求点M的轨迹E的方程；

(2)、过原点O且不与y轴重合的直线l与曲线E交于 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2})$ 两点 $， \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．

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22. 如图（1），△BCD中，AD是BC边上的高，且∠ACD＝45°，AB＝2AD，E是BD的中点，将△BCD沿AD翻折，使得平面ACD⊥平面ABD，得到的图形如图（2）．

(1)、求证：AB⊥CD；

(2)、求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．

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