河北省保定市定州市2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-15 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x - \sqrt{3} y - 1 = 0$ 的倾斜角 $α =$ （）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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2. 设P是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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3. 已知空间直角坐标系中，点 $A (1 ， 2 ， 3)$ 关于 $y o z$ 平面对称点为 $B$ ，点 $B$ 关于 $x$ 轴对称点为点为 $C$ ，则点为 $| B C | =$ （）

A、 $2 \sqrt{14}$ B、6 C、4 D、 $2 \sqrt{13}$

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4. 无论m取何实数，直线 $(2 + m) x + (1 - 2 m) y + 4 - 3 m = 0$ 一定过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 方程 $\sqrt{x^{2} + (y - 2)^{2}} + \sqrt{x^{2} + (y + 2)^{2}} = 10$ 化简的结果是（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{21} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{21} = 1$

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6. 如图所示，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， M是A₁D₁的中点，点N是CA₁上的点，且CN∶NA₁=1∶4，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{M N}$ 的结果是（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{5} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b} + \frac{4}{5} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{5} \vec{a} - \frac{3}{10} \vec{b} - \frac{1}{5} \vec{c}$ D、 $\frac{4}{5} \vec{a} + \frac{3}{10} \vec{b} - \frac{4}{5} \vec{c}$

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7. 唐代诗人李的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点 $B (- 2 ， 3)$ ，若将军从点 $A (2 ， 0)$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $x + y = 3$ ，则“将军饮马”的最短总路程为（）

A、 $\sqrt{26}$ B、 $\sqrt{31}$ C、 $\sqrt{29}$ D、 $\sqrt{34}$

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8. 在棱长为2的正四面体 $A B C D$ 中，点 $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一动点，且满足 $| \vec{P A} | + | \vec{P B} | = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，则PD的最大值为（）

A、3 B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{39}}{3}$ D、2

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二、多选题

9. 以下说法正确的是（）

A、若向量 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一个基底，则 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} - \vec{b} ， \vec{c}}$ 也是空间的一个基底 B、空间的任意两个向量都是共面向量 C、若两条不同直线l，m的方向向量分别是 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，则 $l / / m \Leftrightarrow \overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ D、若两个不同平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别是 $\vec{u}$ ， $\vec{v}$ ，且， $\vec{u} = (1 ， 2 ， - 2)$ ， $\vec{v} = (- 2 ， - 2 ， 4)$ ，则 $α ⊥ β$

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10. 如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角 $θ = 60 °$ 的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是（）

A、椭圆的长轴长为8 B、椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ D、椭圆的一个方程可能为 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

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11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A､B的距离之比为定值 $λ (λ \neq 1)$ 的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (2 ， 0)$ ､ $B (4 ， 0)$ ，点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{1}{2}$ ，设点 $P$ 所构成的曲线为 $C$ ，下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 的方程为 ${(x + 4)}^{2} + y^{2} = 16$ B、在曲线 $C$ 上存在点D，使得 $| A D | = 1$ C、在曲线 $C$ 上存在点M，使M在直线上 $x + y - 2 = 0$ D、在曲线 $C$ 上存在点N，使得 ${| N O |}^{2} + {| N A |}^{2} = 4$

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12. 如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4．E是 $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $B_{1} E ⊥ A_{1} B$ B、平面 $B_{1} C E / /$ 平面 $A_{1} B D$ C、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C E$ 的体积为 $\frac{8}{3}$ D、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C D_{1}$ 的外接球的表面积为 $24 π$

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三、填空题

13. 椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦距为2，则 $m =$ ．

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14. 直线 $l$ ： $m x - y + 1 = 0$ 截圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 4 = 0$ 的弦为 $M N$ ，当 $| M N |$ 取最小值时 $m$ 的值为．

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15. 已知点 $A (- 1 ， 1 ， 0) ， B (1 ， 2 ， 0) ， C (- 2 ， - 1 ， 0) ， D (3 ， 4 ， 0)$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{C D}$ 上的投影向量的长度为.

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16. 设P为椭圆 $\frac{x^{2}}{17} + \frac{y^{2}}{13} = 1$ 上一动点， $F_{1} ， F_{2}$ 分别为左右焦点，延长 $F_{1} P$ 至点Q，使得 $| P Q | = | P F_{2} |$ ，则动点Q的轨迹方程为．

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四、解答题

17. 已知 $\vec{a} = (3 ， 5 ， - 4)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1 ， 8)$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $λ$ ､ $μ$ 的值使得 $λ \vec{a} + μ \vec{b}$ 与z轴垂直，且 $(λ \vec{a} + μ \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 53$ .

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18. 已知两直线 $l_{1} ： x - 2 y + 4 = 0$ ， $l_{2} ： 4 x + 3 y + 5 = 0$

(1)、求直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交点P的坐标；

(2)、设 $A (- 3 ， 3) ， B (1 ， 1)$ ，求过点P且与 $A ， B$ 距离相等的直线方程．

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19. 求满足下列条件的圆的标准方程：

(1)、圆心为C（0，－2），且被直线2x－y＋3＝0截得的弦长为 $4 \sqrt{5}$ ；

(2)、过点A（－1，3），B（3，－1），且圆心在直线x－2y－1＝0上.

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20. 如图所示，直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $B C = 2 A B = 2 A D = 2$ ，四边形 $E D C F$ 为矩形， $C F = 2$ ，平面 $E D C F ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证：平面 $B D F ⊥$ 平面 $D C F$ ；

(2)、求二面角 $A - B E - F$ 的正弦值．

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21. 为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路 $M O N$ 进行分流，已知穿城公路 $M O N$ 自西向东到达城市中心 $O$ 后转向 $\overset{⇀}{O N}$ 方向，已知 $t a n ∠ M O N = - 2$ ，现准备修建一条城市高架道路 $L$ ， $L$ 在 $M O$ 上设一出入口 $A$ ，在 $O N$ 上设一出口 $B$ ，假设高架道路 $L$ 在 $A B$ 部分为直线段，且要求市中心 $O$ 与 $A B$ 的距离为 $10 k m$ .

(1)、若 $O A = 10 \sqrt{2} k m$ ，求两站点 $A ， B$ 之间的距离；

(2)、公路 $M O$ 段上距离市中心 $O$ $30 k m$ 处有一古建筑群 $C$ ，为保护古建筑群，设立一个以 $C$ 为圆心， $5 k m$ 为半径的圆形保护区.因考虑未来道路 $A B$ 的扩建，则如何在古建筑群和市中心 $O$ 之间设计出入口 $A$ ，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？

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22. 如图，过椭圆的左右焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别作长轴的垂线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 交椭圆于 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $A_{2}$ ， $B_{2}$ ，将 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 两侧的椭圆弧删除再分别以 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为圆心， $F_{1} A_{1}$ ， $F_{2} A_{2}$ 线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”，夹在 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左右两个帽檐段所在的圆方程分别为 ${(x \pm \sqrt{2})}^{2} + y^{2} = 1$ .

(1)、求“帽体段”的方程；

(2)、记“帽体段”所在椭圆为C，过点 $P (1 ， 0)$ 的直线与椭圆C交于A，B两点，在x轴上是否存在一个定点 $M (t ， 0)$ ，使得 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 为定值？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由.

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