福建省福州市协作体四校2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-08-15 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x - y = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $135 °$

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2 ， 4)$ ， $\vec{b} = (x ， - 1 ， - 2)$ ，并且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数x的值为（）

A、10 B、-10 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 圆 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 与圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = 144$ 的位置关系是（）

A、相切 B、内含 C、相交 D、外离

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5. 如图，在直三棱柱 $A B C - A B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 3 ， B C = 4 ， C C_{1} = 3 ， ∠ A C B = 9 0^{∘}$ ，则 $B C_{1}$ 与 $A_{1} C$ 所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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6. 已知圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2} ： {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 关于直线 $y = x$ 对称，则圆 $C_{1}$ 的方程为（）

A、 $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ B、 $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ C、 $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ D、 $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$

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7. 平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (- 2 ， - 2 ， 1)$ ， $A (- 1 ， 3 ， 0)$ 在 $α$ 内，则 $P = (- 2 ， 1 ， 4)$ 到 $α$ 的距离为（）

A、10 B、3 C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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8. 直线 $y = x + b$ 与曲线 $x = - \sqrt{2 - y^{2}}$ 有且仅有一个公共点，则实数 $b$ 的取值范围是（）

A、 $- \sqrt{2} \leq b \leq \sqrt{2}$ B、 $b = 2$ C、 $- \sqrt{2} \leq b < \sqrt{2}$ 或 $b = 2$ D、 $- \sqrt{2} < b \leq \sqrt{2}$ 或 $b = 2$

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二、多选题

9. 已知直线 $(a + 2) x + 2 a y - 1 = 0$ 与直线 $3 a x - y + 2 = 0$ 垂直，则实数 $a$ 的值是（）

A、0 B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10. 已知空间中三点 $A (0 ， 1 ， 0)$ ， $B (2 ， 2 ， 0)$ ， $C (- 1 ， 3 ， 1)$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 是共线向量 B、与 $\vec{A B}$ 同向的单位向量是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， - \frac{\sqrt{5}}{5} ， 0)$ C、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{B C}$ 夹角的余弦值是 $\frac{\sqrt{55}}{11}$ D、平面 $A B C$ 的一个法向量是 $(1 ， - 2 ， 5)$

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11. 已知圆的一般方程为 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、圆 $M$ 的圆心为 $(4 ， - 3)$ B、圆 $M$ 被 $x$ 轴截得的弦长为8 C、圆 $M$ 的半径为5 D、圆 $M$ 被 $y$ 轴截得的弦长为9

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12. 已知 $F$ 为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左焦点，直线 $l$ ： $y = k x (k \neq 0)$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $A E ⊥ x$ 轴，垂足为 $E$ ， $B E$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $P$ ，则（）

A、 $\frac{1}{| A F |} + \frac{4}{| B F |}$ 的最小值为2 B、 $△ A B E$ 面积的最大值为 $\sqrt{2}$ C、直线 $B E$ 的斜率为 $\frac{1}{2} k$ D、 $∠ P A B$ 为钝角

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三、填空题

13. 过点 $(0 ， 1)$ 且与直线 $2 x - y + 3 = 0$ 平行的直线方程为．

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14. 若 $\vec{a} = (1 ， λ ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1 ， 2)$ ， $\overset{⇀}{c} = (1 ， 4 ， 4)$ ，且 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 共面，则 $λ =$ .

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15. 已知点P(1，0)与圆C： ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} ＝ 4$ ，设Q为圆C上的动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程为.

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16. 设O(0，0，0)，A(0，1，1)，B(1，0，1)，点P是线段AB上的一个动点，且满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B}$ ，若 $\vec{O P} \cdot \vec{A B} ≥ \vec{P A} \cdot \vec{P B}$ ，则实数 $λ$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (2 ， 6) ， B (4 ， 2) ， C (- 2 ， 0)$ .

(1)、求 $A B$ 边所在直线的方程；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A P} = \vec{c}$ .

(1)、试用 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示向量 $\vec{B M}$ ；

(2)、求BM的长.

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19. 已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (1, 1)$ 和 $B (2, - 2)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $l : x + y + 5 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $D (- 1, - 1)$ 的直线 $m$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{21}$ ，求直线 $m$ 的方程．

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20. 如图，在底面为矩形的四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $A B ⊥ P D$ ；

(2)、若 $P A = P D = A B$ ， $∠ A P D = 90 °$ ，设 $Q$ 为 $P B$ 中点，求直线 $A Q$ 与平面 $P B C$ 所成角的余弦值.

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21. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形，侧棱 $S A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B$ 垂直于 $A D$ 和 $B C$ ， $S A = A B = B C = 2$ ， $A D = 1$ ．M是棱 $S B$ 的中点．

(1)、求证： $A M / /$ 面 $S C D$ ；

(2)、求二面角 $S - C D - M$ 的正弦值；

(3)、在线段 $D C$ 上是否存在一点 $N$ 使得 $M N$ 与平面 $S A B$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{35}}{7}$ 若存在，请求出 $\frac{D N}{D C}$ 的值，若不存在，请说明理由.

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22. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，且 $| B F | = \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、直线l与椭圆有唯一的公共点M ，与y轴的正半轴交于点N ，过N与BF垂直的直线交x轴于点P ．若 $M P // B F$ ，求直线l的方程．

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