安徽省宣城市六校2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-08-15 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $y - \sqrt{3} = 0$ 的倾斜角为（）．

A、 $0 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、不存在

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2. 下列向量与向量 $\vec{a} = (1 ， - \sqrt{2} ， 1)$ 共线的单位向量为（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{1}{2})$

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3. 若方程 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = a$ 表示圆，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 5)$ B、 $(- 5 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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4. 设直线l的方向向量为 $\vec{m} = (2 ， - 1 ， z)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (4 ， - 2 ， - 2)$ ，若直线 $l$ //平面 $α$ ，则实数z的值为（）

A、-5 B、5 C、-1 D、1

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5. 圆 $O_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ 和圆 $O_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 8 y + 12 = 0$ 的公切线的条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 1 ， m ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1 ， 2)$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，则 $c o s 〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 =$ （）．

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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7. 已知直线 $l$ ： $x + 2 m y - m - 2 = 0$ 过定点 $P$ ，直线 $l^{'}$ 过点 $P$ 且与直线 $x + y - 2 = 0$ 垂直，则直线 $l^{'}$ 的方程为（）

A、 $2 x - 2 y - 3 = 0$ B、 $2 x + 2 y + 3 = 0$ C、 $2 x - 2 y + 3 = 0$ D、 $2 x + 2 y - 3 = 0$

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8. 我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， P为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则 $\vec{A C_{1}} \cdot \vec{B P} =$ （）．

A、6 B、-6 C、2 D、-2

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9. 直线 $l_{1} ： y = x + a$ 和 $l_{2} ： y = x + b$ 将单位圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 1$ 分成长度相等的四段弧，则 $a^{2} + b^{2} =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、1 D、3

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10. 在如图所示的几何体中， $A D ⊥$ 平面PDC， $△ P D C$ 是等腰直角三角形，四边形ABCD为平行四边形，且 $P D = D C = A D = 2$ ，则点C到平面PAB的距离为（）．

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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11. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A A_{1} = A C = B C$ ， D为 $A_{1} B$ 上一点（不在端点处），且 $A_{1} D = m A_{1} B$ ，若 $△ B_{1} C D$ 为锐角三角形，则m的取值范围是（）．

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ B、 $(0 ， \frac{1}{3})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{3} ， 1)$ D、 $(\frac{1}{3} ， 1)$

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12. 已知点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 12 x + 4 y + 39 = 0$ 上的一点，记点P到x轴距离为 $d_{1}$ ，到原点O的距离为 $d_{2}$ ，则当 $d_{1} + d_{2}^{2}$ 取最小值时， $\frac{x_{0}}{y_{0}} =$ （）

A、 $\frac{16}{7}$ B、 $\frac{18}{7}$ C、 $\frac{22}{7}$ D、 $\frac{24}{7}$

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二、填空题

13. 在空间直角坐标系中，已知 $A (2 ， - 2 ， 4)$ ， $B (- 4 ， 4 ， - 2)$ ， $C (0 ， 0 ， 2)$ ，若 $\vec{A B} = λ \vec{A C}$ ，则实数 $λ =$ ．

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14. 已知过 $(- 2 ， 1)$ 的直线l与直线 $3 x - y + 1 = 0$ 没有公共点，则直线l的方程为．

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15. 圆 $x^{2} + y^{2} + 10 x + 10 y = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y - 40 = 0$ 的公共弦长为.

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16. 如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝4，SA＝3，E、F分别为线段BC、SB上的一点(端点除外)，满足 $\frac{S F}{B F} = \frac{C E}{B E}$ ＝λ，则当实数λ的值为时，∠AFE为直角．

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三、解答题

17. 已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．

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18. 已知 $\vec{a} =$ （2，3，﹣1）， $\vec{b} =$ （﹣1，0，3）， $\vec{c} =$ （0，1，2）．

(1)、求 $\vec{a} \cdot (2 \vec{b} - 3 \vec{c})$ 的值；

(2)、已知 $\vec{b} ⊥ \vec{d}$ ， $\vec{c} ⊥ \vec{d}$ ， | $\vec{a}$ |＝| $\vec{d}$ |，求 $\vec{d}$ ．

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19. 已知圆 $C$ 的圆心在坐标原点 $O$ ，直线 $l$ 的方程为 $x - y - 2 \sqrt{2} = 0$ .

(1)、若圆 $C$ 与直线 $l$ 相切，求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若圆 $C$ 上恰有两个点到直线 $l$ 的距离是1，求圆 $C$ 的半径的取值范围.

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20. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， E、F分别为 $B B_{1}$ 、 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求直线AE与 $A_{1} F$ 所成角的大小；

(2)、判断直线 $A_{1} F$ 与平面ABF是否垂直．

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21. 已知圆C的方程为 $x^{2} + y^{2} - 16 x - 12 y + 95 = 0$ ．

(1)、设O为坐标原点，P为圆C上任意一点，求 $| P O |$ 的最大值与最小值；

(2)、设直线 $l ： x - y = 0$ ，记直线l被圆C截得的弦长为a，直线l被圆 $M ： x^{2} + {(y + 4)}^{2} = m (m > 10)$ 截得的弦长为b，试比较a与b的大小．

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知 $P B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $B C ⊥ A B$ ， $A D / / B C$ ， $A B = A D = 2$ ， $C D ⊥ P D$ ，异面直线 $P A$ 和 $C D$ 所成角等于 $60 °$ .

(1)、求直线 $C D$ 和平面 $P A D$ 所成角的正弦值；

(2)、在棱 $P A$ 上是否存在一点E，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为 $\sqrt{5}$ ？若存在，指出点 $E$ 在棱 $P A$ 上的位置；若不存在，说明理由.

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