安徽省芜湖市2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-08-15 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1 ， x)$ ，若 $| \vec{a} | = \sqrt{6}$ ，则x的值为（）

A、1 B、-3 C、±1 D、3

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2. 点 $(2 ， 0)$ 到直线 $x + y + 2 = 0$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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3. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上､下顶点分别为 $B_{1} ， B_{2}$ ，右顶点为A，右焦点为F， $B_{1} F ⊥ B_{2} A$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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4. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1 ， n)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 以点 $(1 ， - 1)$ 为圆心，且与直线 $x - y + 2 = 0$ 相切的圆的方程为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ C、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 8$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 8$

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6. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，点 $P$ ， $Q$ 分别是 $O A$ ， $B C$ 的中点，点 $D$ 为线段 $P Q$ 上一点，且 $\vec{P D} = 2 \vec{D Q}$ ，若记 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{O D} =$ （）

A、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$

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7. 直线 $y = x - 2$ 被圆 $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ 所截得的弦长为（）

A、4 B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{14}$

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8. 已知点 $A (2 ， 0)$ ，点 $B (- 2 ， 0)$ ，直线 $l ： (λ + 3) x + (λ - 1) y - 4 λ = 0$ （其中 $λ \in R)$ ，若直线 $l$ 与线段 $A B$ 有公共点，则 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1$ ， $3)$ B、 $(- 1$ ， $1) ∪ (1$ ， $3)$ C、 $[- 1$ ， $1) ∪ (1$ ， $3]$ D、 $[- 1$ ， $3]$

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9. 如图，在 $60 °$ 二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若 $A B = A C = B D = 4$ ，则线段CD的长为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、16 C、8 D、 $4 \sqrt{2}$

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10. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $D$ 是 $B B_{1}$ 的中点，则 $A D$ 与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

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11. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点，若椭圆E上存在点P满足 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = c^{2}$ ，则椭圆E离心率的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A$ 和 $B$ 是圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的两点，且 $A B = \sqrt{2}$ ，点 $P (2 ， 1)$ ，则 $| 2 \vec{P A} - \vec{P B} |$ 的取值范围是 $($ $)$

A、 $[\sqrt{5} - \sqrt{2} ， \sqrt{5} + \sqrt{2}]$ B、 $[\sqrt{5} - 1 ， \sqrt{5} + 1]$ C、 $[6 - 2 \sqrt{5} ， 6 + 2 \sqrt{5}]$ D、 $[7 - 2 \sqrt{10} ， 7 + 2 \sqrt{10}]$

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二、填空题

13. 若方程 $\frac{x^{2}}{k - 5} + \frac{y^{2}}{10 - k} = 1$ 表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是．

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14. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2 .$ $E$ 、 $F$ 分别是 $B C$ 、 $A_{1} C_{1}$ 的中点.设D是线段 $B_{1} C_{1}$ 上的（包括两个端点）动点，当直线 $B D$ 与 $E F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ ，则线段 $B D$ 的长为.

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15. 已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点F为直线 $x - 2 y - 2 = 0$ 与x轴的交点，且在经过点F的所有弦中，最短弦的长度为 $\frac{10}{3}$ ，则C的方程为．

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16. 已知动点A，B分别在圆 $C_{1} ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 和圆 $C_{2} ： {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 4$ 上，动点P在直线 $x + y + 1 = 0$ 上，则 $| P A | + | P B |$ 的最小值是．

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三、解答题

17. 已知直线 $l ： 3 x + 4 y - 7 = 0$ ，求

(1)、求直线l的斜率：

(2)、若直线m与l平行，且过点 $(0 ， 2)$ ，求直线m的方程．

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18. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 底面 $△ A B C$ 中， $C A = C B = 1$ ， $∠ B C A = 90 °$ ，棱 $A A_{1} = 2$ ， $M$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、求 $c o s < \vec{B A_{1}}$ ， $\vec{C B_{1}} >$ 的值；

(2)、求证： $A_{1} B ⊥ C_{1} M$ .

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19. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知以 $M$ 为圆心的圆 $M ： x^{2} + y^{2} - 12 x - 14 y + 60 = 0$ 及其上一点 $A (2 ， 4)$ ．

(1)、设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；

(2)、设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．

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20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，点M是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．

(1)、若PM：MD＝1：2，求证：PB∥平面ACM；

(2)、求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；

(3)、若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求MD的长．

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21. 已知圆 $E ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ 和点 $F (1 ， 0)$ ，动圆 $M$ 经过点 $F$ ，且与圆 $E$ 内切.

(1)、求动圆的圆心 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、设点 $P (4 ， t) (t \neq 0)$ 关于点 $F$ 的对称点为 $P^{'}$ ，直线 $P^{'} E$ 与轨迹 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $△ A B P$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ ，求 $t$ 的值.

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