安徽省十校联盟2021-2022学年高二上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2022-08-15 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在空间直角坐标系下，点 $M (- 2 ， 6 ， 1)$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标为（）

A、 $(2 ， - 6 ， 1)$ B、 $(2 ， 6 ， - 1)$ C、 $(- 2 ， - 6 ， - 1)$ D、 $(2 ， - 6 ， - 1)$

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2. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的一个焦点为 $(0 ， - 1)$ ，则 $m$ 的值为（）

A、5 B、3 C、4 D、2

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3. 将直线 $3 x - \sqrt{3} y = 0$ 绕着原点逆时针旋转 $9 0^{∘}$ ，得到新直线的斜率是（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 已知实数 $x ， y$ 满足方程 $x^{2} + y^{2} + 8 x - 4 y + 16 = 0$ ，则 $x$ 的最大值为（）

A、3 B、2 C、-1 D、-2

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5. 已知直线 $l ： x + m y + 2 = 0$ ，若圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 3 = 0$ 上存在两点 $P ， Q$ 关于直线 $l$ 对称，则 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、5

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6. 已知直线 $l_{1} ： (a - 1) x + 2 y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 3 x + a y - 1 = 0$ 平行，则 $a$ 等于（）

A、3或 —2 B、—2 C、3 D、2

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7. 在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $\vec{A B} = (4 ， - 1 ， 0) ， \vec{A D} = (0 ， 3 ， 0) ， \vec{A S} = (- 3 ， 1 ， - 5)$ ，则这个四棱锥的高 $h$ 为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 过圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 上一点 $P$ 作圆 $O ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，若 $∠ A P B = \frac{π}{2}$ ，则 $r =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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9. 已知直线 $l_{1} ： \sqrt{3} x + y s i n^{2} α + 2 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $l_{2}$ 的倾斜角的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ B、 $[0 ， \frac{π}{6})$ C、 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ D、 $[0 ， \frac{π}{6}]$

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10. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱 $B C ， A_{1} B_{1}$ 的中点分别为 $E ， F$ ，则直线 $E F$ 与 $A B_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{33}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = \frac{2 m - 2}{m^{2} + 1}$ ，直线 $l ： m x - y - \sqrt{2} = 0 (m \neq 0)$ 与圆 $O$ 没有公共点，斜率为 $k$ 的直线 $l^{'}$ 与直线 $l$ 垂直，则 $m - 2 k$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $[2 \sqrt{2} ， 3)$ C、 $(1 ， 2 \sqrt{2}]$ D、 $[2 \sqrt{2} ， + \infty)$

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过右焦点 $F$ 且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线与椭圆 $C$ 相交得到的弦长为 $\frac{8}{5}$ ，且椭圆 $C$ 上存在4个点 $M ， N ， P ， Q$ 构成矩形，则矩形 $M N P Q$ 面积的最大值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、16

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二、填空题

13. 设空间向量 $\vec{a} = (- 3 ， 1 ， x) ， \vec{b} = (2 ， x ， 5)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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14. 设圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 4$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 0$ ，则圆 $C_{1} ， C_{2}$ 有公切线条.

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15. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左，右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上， $O$ 为坐标原点，且 $| O P | = 3$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为.

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16. 在如图所示的实验装置中，四边形框架 $A B C D$ 为正方形， $A B E F$ 为矩形，且 $B E = 3 A B = 3$ ，且它们所在的平面互相垂直， $N$ 为对角线 $B F$ 上的一个定点，且 $2 F N = B N$ ，活动弹子 $M$ 在正方形对角线 $A C$ 上移动，当 $\vec{M E} \cdot \vec{M N}$ 取最小值时，活动弹子 $M$ 与点 $B$ 之间的距离为.

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三、解答题

17. 已知点 $P (3 ， - 1)$ .

(1)、若直线 $l$ 与直线 $y = 3 ， x = 7$ 分别交于点 $A ， B$ ，且线段 $A B$ 的中点坐标为 $P$ ，求直线 $l$ 的斜率；

(2)、若直线 $l$ 过点 $P$ ，且原点到该直线的距离为 $3$ ，求直线 $l$ 的方程.

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18. 已知定点 $M (4 ， 0) ， N (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{M N} \cdot \vec{M P} = 6 | \vec{P N} |$ ，设点 $P$ 的轨迹为 $E$ .

(1)、求轨迹 $E$ 的方程；

(2)、若点 $Q ， R$ 分别是圆 $x^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = 4$ 和轨迹 $E$ 上的点，求 $Q ， R$ 两点间的最大距离.

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19. 如图所示，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $S C = 3$ ， $A C ⊥ B C$ ， $C E = 2 E B = 2$ ， $A C = \frac{3}{2}$ ， $C D = E D$ .

(1)、求证： $D E ⊥$ 平面 $S C D$ ；

(2)、求 $S B$ 与平面 $S C D$ 所成的角正弦值.

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20. 设圆 $C$ 的圆心为 $(m ， 0)$ ，半径为 $r$ ，圆 $C$ 过点 $(2 ， 0)$ ，直线 $l ： x + y - 2 = 0$ 交圆 $C$ 与 $M ， N$ 两点， $| M N | = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知 $m < 4$ ，过点 $(1 ， 0)$ 的直线与圆 $C$ 相交于 $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ 两点，其中 $x_{1} \neq x_{2} ， y_{1} > 0$ ，若存在 $A (t ， 0)$ ，使得 $x$ 轴为 $∠ P A Q$ 的平分线，求正数 $t$ 的值.

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21. 如图，在几何体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是边长为2的正三角形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A A_{1} / / B B_{1} / / C C_{1}$ ，且 $6 A A_{1} = 2 B B_{1} = 3 C C_{1} = 6 ， E$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $C E / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求二面角 $B_{1} - A_{1} C_{1} - A$ 的余弦值.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，若 $l$ 与 $x$ 轴垂直时， $| A B | = \sqrt{2} .$

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，且 $O P ⊥ A B (O$ 为坐标原点），求 $\frac{| A B |}{| O P |^{2}}$ 的取值范围.

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