安徽省池州市贵池区2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-15 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合A＝{x|x²－2x＞0}，B＝{x|－ $\sqrt{5}$ ＜x＜ $\sqrt{5}$ }，则（）．

A、A∩B＝∅ B、A∪B＝R C、B $\subseteq$ A D、A $\subseteq$ B

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2. 复数z满足 $z = (z + 2) i$ ，则z=（）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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3. 若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足： $| \vec{a} | = 1, (\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}, (2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b},$ 则 $| \vec{b} | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 已知 $a = \log_{3} \frac{7}{2} ， b = {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{3}} ， c = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{5}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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5. 已知直线 $l_{1} ： a x + 2 y - 1 = 0$ $l_{2} ： 8 x + a y + 2 - a = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\pm 4$ B、－4 C、4 D、 $\pm 2$

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6. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上， $\vec{M G} = 2 \vec{G N}$ ，现用基向量 $\vec{O A} ， \vec{O B} ， \vec{O C}$ 表示向量 $\vec{O G}$ ，设 $\vec{O G} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，则 $x ， y ， z$ 的值分别是（）

A、 $x = \frac{1}{3}$ ， $y = \frac{1}{3}$ ， $z = \frac{1}{3}$ B、 $x = \frac{1}{3}$ ， $y = \frac{1}{3}$ ， $z = \frac{1}{6}$ C、 $x = \frac{1}{3}$ ， $y = \frac{1}{6}$ ， $z = \frac{1}{3}$ D、 $x = \frac{1}{6}$ ， $y = \frac{1}{3}$ ， $z = \frac{1}{3}$

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7. 如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数 $y = s i n 2 x$ ， $y = s i n (x + \frac{π}{6})$ ， $y = s i n (x - \frac{π}{3})$ 的图像如下．结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 满足方程 $\frac{s i n α}{1 + c o s α} = 2$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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9. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点， $O$ 为坐标原点，在双曲线 $C$ 存在点 $M$ ，使得 $2 | O M | = | F_{1} F_{2} |$ ，设 $Δ F_{1} M F_{2}$ 的面积为 $S$ .若 $16 S = {(| M F_{1} | + | M F_{2} |)}^{2}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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10. 过点 $A (11 ， 2)$ 作圆（x+1）²+（y-2）²=169的弦，其中弦长为整数的弦共有（）

A、16条 B、17条 C、32条 D、34条

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11. 已知点 $F$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，点M为抛物线上的任意一点， $P (3 ， 1)$ 为平面上定点，则 $| M P | + | M F |$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别为 $B D_{1} ， B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 在正方体的表面上运动，且满足 $M P ⊥ C N$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $P$ 可以是棱 $B B_{1}$ 的中点 B、线段 $M P$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、点 $P$ 的轨迹是正方形 D、点 $P$ 轨迹的长度为 $2 + \sqrt{5}$

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二、填空题

13. 圆 $C_{1} : {(x - m)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ 与圆 $C_{2} : {(x + 1)}^{2} + {(y - m)}^{2} = 4$ 内切，则 $m$ 的值为.

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14. 已知 $\vec{P A} = (2 ， 1 ， - 3)$ ， $\vec{P B} = (- 1 ， 2 ， 3)$ ， $\vec{P C} = (7 ， 6 ， λ)$ ，若P，A，B，C四点共面，则λ=.

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15. 椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 中，以点 $M (1 ， 2)$ 为中点的弦所在直线斜率为.

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16. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x²+y²＝1和点 $A (- \frac{1}{2} ， 0)$ ，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} s i n 2 x s i n φ + c o s^{2} x c o s φ - \frac{1}{2} s i n (\frac{π}{2} + φ) (0 < φ < π)$ ，其图象过点 $(\frac{π}{6} ， \frac{1}{2})$ .

(1)、求 $φ$ 的值；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 图像上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图像，求函数 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值.

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18. 已知 $Δ A B C$ 的顶点 $A (3 ， 1)$ ， $A B$ 边上的中线 $C M$ 所在直线方程为 $2 x - y - 1 = 0$ ， $∠ B$ 的角平分线 $B N$ 所在直线方程为 $x - 2 y = 0$ ．
（I）求顶点 $B$ 的坐标；
（II）求直线 $B C$ 的方程．

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19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， $P A ⊥$ 平面ABCD， $P A = A D = 4$ ， $A B = 2$ ， M是PD上一点，且 $B M ⊥ P D$ .

(1)、求异面直线PB与CM所成角余弦的大小；

(2)、求点M到平面PAC的距离.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (2 ， 1)$ ，且离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，直线l与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，求 $△ P A B$ 的面积的最大值.

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21. 如图，在多面体 $A B C D F E$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，四边形 $A B E F$ 是直角梯形，其中 $∠ A B E = 90 °$ ， $A F / / B E$ ，且 $D E = A F = 3 B E = 3$ .

(1)、证明：平面 $A B E F ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(2)、求二面角 $C - D E - F$ 的余弦值.

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22. 如图，圆 $M ： (x - 2)^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $P (- 1 ， t)$ 为直线 $l ： x = - 1$ 上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B.

(1)、求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；

(2)、若两条切线PA，PB与y轴分别交于S､T两点，求 $| S T |$ 的最小值.

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