浙江省历年（2018-2022年）真题分类汇编专题47 解直角三角形（1）

试卷更新日期：2022-08-14 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）

A、 $\frac{9}{5 \sin α}$ 米 B、 $\frac{9}{5 \cos α}$ 米 C、 $\frac{5}{9 \sin α}$ 米 D、 $\frac{5}{9 \cos α}$ 米

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2. 如图1长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一楼进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{32}{5}$ C、 $\frac{12 \sqrt{34}}{17}$ D、 $\frac{20 \sqrt{34}}{17}$

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3. 如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D。若⊙O的半径为1，则BD的长为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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4. 如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）

A、(1.5+150tanα) 米 B、(1.5+ $\frac{150}{\tan α}$ )米 C、(1.5+150sinα)米 D、(1.5+ $\frac{150}{\sin α}$ )米

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5. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）.已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（）

A、asinx+bsinx B、acosx+bcosx C、asinx+bcosx. D、acosx+bsinx

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二、填空题

6. 如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）．

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7. 定义；在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换。
如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A₁B₁C₁就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．
若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A₁B₁C₁ ， △A₁B₁C₁经γ（2，180°）变换后得△A₂B₂C₂ ， △A₂B₂C₂经γ（3，180°）变换后得△A₃B₃C₃ ，依此类推……
△A_n-1B_n-1C_n-1经γ（n，180°）变换后得△A_nB_nC_n ，则点A₁的坐标是，点A₂₀₁₈的坐标是。

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8. 如图，人字梯AB，AC的长都为2米。当a=50°时，人字梯顶端高地面的高度AD是米（结果精确到0.1m。参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

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9. 如图，某海防响所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一般船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这般船与哨所的距离OB约为米。（精确到1米，参考数据： $\sqrt{2}$ =1.414， $\sqrt{3}$ ≈1.732）

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10. 如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC^2-BC²= $\frac{\sqrt{5}}{5}$ AB² ，则tanC=。

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11. 有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度. 图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α. 若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm. 问：当α＝74°，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为cm.（参考数据： sin37≈0.6，cos3≈0.8，sin53≈0.8，cos53≈0.6.）

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12. 在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cosC=.

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13. 如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上。在F点观测A点后，沿FN方向走到M点.观测C点发现∠1=∠2。测得EF=15米，FM=2米，MN=8米，∠ANE=45°，则场地的边AB为米，BC为米。

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14. 如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD。若BD的长为2 $\sqrt{3}$ ，则m的值为。

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15. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为。

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16. 图2、图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上．两门关闭时（图2），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合）；两门同时开启，A，D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C滑动；B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启。已知AB=50cm，CD=40cm．

(1)、如图3，当∠ABE=30°时，BC= cm．

(2)、在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为cm² ．

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17. 如图，一副含30°和45°角的三角板 $A B C$ 和 $E D F$ 拼合在个平面上，边 $A C$ 与 $E F$ 重合， $A C = 12 c m$ ．当点 $E$ 从点 $A$ 出发沿 $A C$ 方向滑动时，点 $F$ 同时从点 $C$ 出发沿射线 $B C$ 方向滑动．当点 $E$ 从点 $A$ 滑动到点 $C$ 时，点 $D$ 运动的路径长为 $c m$ ；连接 $B D$ ，则△ $A B D$ 的面积最大值为 $c m^{2}$ ．

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三、解答题

18. 图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图， $A C$ 是可以伸缩的起重臂，其转动点 $A$ 离地面 $B D$ 的高度 $A H$ 为 $3.4 m$ .当起重臂 $A C$ 长度为 $9 m$ ，张角 $∠ H A C$ 为 $118^{\circ}$ 时，求操作平台 $C$ 离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据： $\sin 28^{\circ} \approx 0.47$ ， $\cos 28^{\circ} \approx 0.88$ ， $\tan 28^{\circ} \approx 0.53$ ）.

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19. “五・一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图所示。
根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才到达桥头D处（精确到1米）。备用数据 $\sqrt{2}$ ≈1.414， $\sqrt{3}$ ≈1.732）

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20. 图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图，已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）

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21. 人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点. 图2是它的示意图，AB=AC，BD=140cm，∠BAC=40°，求点D离地面的高度DE.
（结果精确到0. 1cm；参考数据sin70°≈0. 94，cos70°≈0. 34，sin20°≈0. 34，cos20°≈0. 94）

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四、综合题

22. 如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接.图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨 $M N$ 安装在窗框上，托悬臂 $D E$ 安装在窗扇上，交点 $A$ 处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点 $B$ ， $C$ ， $D$ 始终在一直线上，延长 $D E$ 交 $M N$ 于点 $F$ .已知 $A C = D E = 20 c m$ ， $A E = C D = 10 c m$ ， $B D = 40 c m$ .

(1)、窗扇完全打开，张角 $∠ C A B = 85^{\circ}$ ，求此时窗扇与窗框的夹角 $∠ D F B$ 的度数.

(2)、窗扇部分打开，张角 $∠ C A B = 60^{\circ}$ ，求此时点 $A$ ， $B$ 之间的距离（精确到 $0.1 c m$ ）.
（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{6} \approx 2.449$ ）

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23. 如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=20°。当点P位于初始位置P₀时，点D与C重合（图2），根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳。

(1)、上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P₀上调多少距离？（结果精确到0.1m）

(2)、中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）
（参考数：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75， $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73）

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24. 如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接。图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F。已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm。

(1)、窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数。

(2)、窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）。
（参考数据： $\sqrt{3}$ ≈1.732， $\sqrt{6}$ ≈2.449）

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25. 某挖掘机的底座高 $A B = 0.8$ 米，动臂 $B C = 1.2$ 米， $C D = 1.5$ 米， $B C$ 与 $C D$ 的固定夹角∠ $B C D$ =140°．初始位置如图1，斗杆顶点 $D$ 与铲斗顶点 $E$ 所在直线 $D E$ 垂直地面 $A M$ 于点 $E$ ，测得∠ $C D E$ =70°(示意图2)．工作时如图3，动臂 $B C$ 会绕点 $B$ 转动，当点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在同一直线时，斗杆顶点 $D$ 升至最高点(示意图4)．

（考数据： $\sin 50^{\circ} \approx 0.77$ ， $\cos 50^{\circ} \approx 0.64$ ， $\sin 70^{\circ} \approx 0.94$ ， $\cos 70^{\circ} \approx 0.34$ ， $\sqrt{3 \approx} 1.73$ ）

(1)、求挖掘机在初始位置时动臂 $B C$ 与 $A B$ 的夹角∠ $A B C$ 的度数．

(2)、问斗杆顶点 $D$ 的最高点比初始位置高了多少米(精确到0.1米)?

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26. 如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上。

(1)、转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC=150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE.

(2)、将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD=165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少?增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73）

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27. 如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点，∠ADC=∠G。

(1)、求证：∠1=∠2。

(2)、点C关于DG的对称点为F，连结CF.当点F落在直径AB上时，CF=10，tan∠1= $\frac{2}{5}$ ，求⊙O的半径。

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28. 如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图。遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF=EF=FG=1m。

(结果精确到0.1m，参考数据： $\sqrt{3}$ ≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

(1)、若移动滑块使AE=EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长。

(2)、当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？

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29. 有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度.图2是这种升降熨烫台的平面示意图，AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h(cm)表示熨烫台的高度.

(1)、如图2—1，若AB＝CD＝110cm，∠AOC＝120°，求h的值；

(2)、爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图2—2），求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1cm）.（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0. 6）

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30. 已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E.

(1)、特例感知：如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP＝ $\frac{1}{2}$ AC；

(2)、变式求异：如图2，若∠C＝90°，m＝ $6 \sqrt{2}$ ，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；

(3)、化归探究：如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围.

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31. 如图， $Δ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，点 $D$ 在 $\overset{⌢}{B C}$ 上，点 $E$ 在弦 $A B$ 上（ $E$ 不与 $A$ 重合），且四边形 $B D C E$ 为菱形.

(1)、求证： $A C = C E$ ；

(2)、求证： $B C^{2} - A C^{2} = A B \cdot A C$ ；

(3)、已知 $⊙ O$ 的半径为3.
①若 $\frac{A B}{A C} = \frac{5}{3}$ ，求 $B C$ 的长；
②当 $\frac{A B}{A C}$ 为何值时， $A B \cdot A C$ 的值最大？

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32. 如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC＝ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，D是BC的中点.

(1)、求OC的长和点D的坐标；

(2)、如图2，M是线段OC上的点，OM＝ $\frac{2}{3}$ OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F
①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；

②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长.

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