浙江省历年（2018-2022年）真题分类汇编专题45 图形的相似（3）

试卷更新日期：2022-08-14 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高 $P O = 5 m$ ，树影 $A C = 3 m$ ，树AB与路灯O的水平距离 $A P = 4.5 m$ ，则树的高度AB长是（）

A、 $2 m$ B、 $3 m$ C、 $\frac{3}{2} m$ D、 $\frac{10}{3} m$

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2. 将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片 $A B C D$ ，其中 $∠ A = 90 °$ ， $A B = 9$ ， $B C = 7$ ， $C D = 6$ ， $A D = 2$ ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）

A、 $\frac{25}{2}$ B、 $\frac{45}{4}$ C、10 D、 $\frac{35}{4}$

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3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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4. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $\cos B = \frac{1}{4}$ ，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使 $∠ A D E = ∠ B$ ，连结CE，则 $\frac{C E}{A D}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ D、2

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以其三边为边向外作正方形，连结 $C F$ ，作 $G M ⊥ C F$ 于点M， $B J ⊥ G M$ 于点J， $A K ⊥ B J$ 于点K，交 $C F$ 于点L．若正方形 $A B G F$ 与正方形 $J K L M$ 的面积之比为5， $C E = \sqrt{10} + \sqrt{2}$ ，则 $C H$ 的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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6. 如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $\sqrt{15}$ C、4 D、 $\sqrt{17}$

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二、填空题

7. 如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置.木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E.已知 $A B ⊥ B C ， M N ⊥ B C ， A B = 6.5$ ， $B P = 4 ， P D = 8$ .

(1)、ED的长为.

(2)、将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到 $B C^{'}$ （如图2），点P的对应点为 $P^{'}$ ， $B C^{'}$ 与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜 $P^{'}$ 反射后，在MN上的光点为 $E^{'}$ .若 $D D^{'} = 5$ ，则 $E E^{'}$ 的长为.

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8. 如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是．

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9. 如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC， $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{3}$ ，若DE=2，则BC的长是．

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10. 如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片．点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD=ED，则∠B=度； $\frac{B C}{A D}$ 的值等于．

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11. 某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=cm．

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E在边 $A B$ 上， $△ B E C$ 与 $△ F E C$ 关于直线 $E C$ 对称，点B的对称点F在边 $A D$ 上，G为 $C D$ 中点，连结 $B G$ 分别与 $C E ， C F$ 交于M，N两点，若 $B M = B E$ ， $M G = 1$ ，则 $B N$ 的长为， $\sin ∠ A F E$ 的值为.

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13. 如图，在菱形 ABCD中，∠A=60° ，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M 处，折痕分别与边 AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．

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三、作图题

14. 如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形，

(1)、如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；

(2)、如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；

(3)、如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．

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四、综合题

15. 如图

(1)、（证明体验）
如图1， $A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线， $∠ A D C = 60 °$ ，点E在 $A B$ 上， $A E = A C$ .求证： $D E$ 平分 $∠ A D B$ .

(2)、（思考探究）
如图2，在（1）的条件下，F为 $A B$ 上一点，连结 $F C$ 交 $A D$ 于点G.若 $F B = F C$ ， $D G = 2$ ， $C D = 3$ ，求 $B D$ 的长.

(3)、（拓展延伸）
如图3，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 平分 $∠ B A D ， ∠ B C A = 2 ∠ D C A$ ，点E在 $A C$ 上， $∠ E D C = ∠ A B C$ .若 $B C = 5 ， C D = 2 \sqrt{5} ， A D = 2 A E$ ，求 $A C$ 的长.

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16. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形， $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{4}$ 、

(1)、若AB=8，求线段AD的长．

(2)、若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．

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17. 如图1，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $B D$ 为直径， $\overset{⌢}{A D}$ 上存在点E，满足 $\overset{⌢}{A E} = \overset{⌢}{C D}$ ，连结 $B E$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点F， $B E$ 与 $A D$ 交于点G.

(1)、若 $∠ D B C = α$ ，请用含 $α$ 的代数式表列 $∠ A G B$ .

(2)、如图2，连结 $C E ， C E = B G$ .求证； $E F = D G$ .

(3)、如图3，在（2）的条件下，连结 $C G$ ， $A G = 2$ .
①若 $\tan ∠ A D B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ F G D$ 的周长.

②求 $C G$ 的最小值.

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18. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(- \sqrt{73} ， 0)$ ，点B在直线 $l ： y = \frac{3}{8} x$ 上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C.

(1)、如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D.
①若 $B A = B O$ ，求证： $C D = C O$ .

②若 $∠ C B O = 45 °$ ，求四边形 $A B O C$ 的面积.

(2)、是否存在点B，使得以 $A ， B ， C$ 为顶点的三角形与 $△ B C O$ 相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由.

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19. 已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 图像上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $x < 0$ ）的图像于点B，过点A作AE⊥ $y$ 轴于点E。

(1)、如图1，过点B作BF⊥ $x$ 轴于点F，连结EF，
①若 $k = 1$ ，求证：四边形AEFO是平行四边形；

②连结BE，若 $k = 4$ ，求△BOE的面积。

(2)、如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $x < 0$ ）的图像于点P，连结OP。
试探究：对于确定的实数 $k$ ，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由。

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20. 小东在做九上课本123页习题：“1： $\sqrt{2}$ 也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1： $\sqrt{2}$ ．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．

(1)、你赞同他的作法吗？请说明理由．

(2)、小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．
①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．

②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．

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21. 如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在BC上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB-∠BFD=∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE=FG，连结BD，DG．设∠ACB=α．

(1)、用含α的代数式表示∠BFD．

(2)、求证：△BDE≌△FDG．

(3)、如图2，AD为⊙O的直径．
①当 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为2时，求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长．

②当OF：OE=4：11时，求cosα的值．

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22.

(1)、【基础巩固】
如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．

(2)、【尝试应用】
如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求 $\frac{D E}{B C}$ 的值．

(3)、【拓展提高】
如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．

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23. 已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．

(1)、如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S₁ ，正方形BGFC的面积为S₂ ．
①若S₁=9，S₂=16，求S的值；

②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S₂-S₁=2S．

(2)、如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S₁ ，等边三角形CBE的面积为S₂ ．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S₂-S₁与S之间的等量关系，并说明理由．

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24. 如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y=-x²+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．

(1)、①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．

(2)、若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．

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25. 如图，在矩形 ABCD中，AB=6，BC=8，动点 E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A， D关于直线 BE的对称点分别为M，N，连结MN ．

(1)、如图，当E在边AD上且 DE=2时，求 ∠AEM的度数．

(2)、当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．

(3)、当直线MN恰好经过点 C 时，求DE的长．

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26. 如图，在菱形ABCD中，AB=10. $\sin B = \frac{3}{5}$ ，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.

(1)、如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.

(2)、若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.

(3)、已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)？

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27. 如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．

(1)、线段AC与FH垂直吗？请说明理由．

(2)、如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证： $\frac{K H}{C H} = \frac{A K}{A C}$

(3)、如图3，在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求 $\frac{C P}{P F}$ 的值．

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28. 如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G，

(1)、求证：∠CAG=∠AGC：

(2)、当点E在AB上，连结AF交CD于点卫，若 $\frac{EF}{CE} = \frac{2}{5}$ ，求 $\frac{DP}{CP}$ 的值；

(3)、当点E在射线AB上，AB=2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长.

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