浙江省历年（2018-2022年）真题分类汇编专题45 图形的相似（1）

试卷更新日期：2022-08-14 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 $B D$ 绕 $O$ 点旋转到 $A C$ 位置，已知 $A B ⊥ B D$ ， $C D ⊥ B D$ ，垂足分别为 $B$ ， $D$ ， $A O = 4 m$ ， $A B = 1.6 m$ ， $C O = 1 m$ ，则栏杆 $C$ 端应下降的垂直距离 $C D$ 为（）

A、 $0.2 m$ B、 $0.3 m$ C、 $0.4 m$ D、 $0.5 m$

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2. 如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S₁ ， S₂ ，（）

A、若 $2 A D > A B$ ，则 $3 S_{1} > 2 S_{2}$ B、若 $2 A D > A B$ ，则 $3 S_{1} < 2 S_{2}$ C、若 $2 A D < A B$ ，则 $3 S_{1} > 2 S_{2}$ D、若 $2 A D < A B$ ，则 $3 S_{1} < 2 S_{2}$

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3. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）

A、0.2m B、0.3m C、0.4m D、0.5m

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4. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B、C重合），连接AM交DE于点N，则（）

A、 $\frac{A D}{A N} = \frac{A N}{A E}$ B、 $\frac{B D}{M N} = \frac{M N}{C E}$ C、 $\frac{D N}{B M} = \frac{N E}{M C}$ D、 $\frac{D N}{M C} = \frac{N E}{B M}$

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5. 如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N．欧儿里得在《几何原本》中利用该图解释了 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ．现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S₁ ，图中阴影部分的面积为S₂ ．若点A，L，G在同一直线上，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$

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二、填空题

6. 如图，直线l₁∥l₂∥l₃ ，直线AC交l₁ ， l₂ ， l₃ ，于点A，B，C；直线DF交l₁ ， l₂ ， l₃于点D，E，F，已知 $\frac{A B}{A C} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{E F}{D E}$ =。

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7. 三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为cm．

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8. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， $▱$ ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F。若y= $\frac{k}{x}$ （k≠0）图象经过点C，且S△BEF=1，则k的值为。

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9. 如图，直线l₁∥l₂∥l₃ ， A，B，C分别为直线l₁ ， l₂ ， l₃上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l₂于点D.设直线l₁ ， l₂之间的距离为m，直线l₂ ， l₃之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且 $\frac{m}{n} = \frac{2}{3}$ 则m+n的最大值为.

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10. 如图，过原点的直线与反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （k>0)的图象交于A，B两点，点A在第一象限点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D.AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结DE.若AC=3DC，△ADE的面积为8，则k的值为.

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11. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，点D在边BC上，CD=5，BD=13.点P是线段AD上一动点，当半径为6的OP与△ABC的一边相切时，AP的长为.

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12. 如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'点，D点的对称点为D'点，若∠FPG=90°，△A'EP的面积为4，△D'PH的面积为1.则矩形ABCD的面积等于。

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三、解答题

13. 如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG，于点E，BF⊥AG于点F，设 $\frac{B G}{B C} = k$ 。

(1)、求证：AE=BF；

(2)、连接BE，DF，设∠EDF= $α$ ，∠EBF= $β$ 求证： $\tan α = k \tan β$

(3)、设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S₁和S₂ ，求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的最大值．

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四、综合题

14. 已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D，E分别为AC，BC边上的点（不包括端点），且 $\frac{D C}{B E} = \frac{A C}{B C}$ =m，连结AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM交AB于点F．

(1)、如图1，过点E作EH⊥AB于点H，连结DH．
①求证：四边形DHEC是平行四边形；
②若m= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求证：AE=DF；

(2)、如图2，若m= $\frac{3}{5}$ ，求 $\frac{D F}{A E}$ 的值．

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15. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB=2 $\sqrt{3}$ ，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．

(1)、当OB=2时，求点D的坐标；

(2)、若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；

(3)、如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A₁B₁C₁D₁ ，过点D₁的反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （k≠0）的图象与BA的延长线交于点P．问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A₁ ， D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．

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16. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在 $A C$ ， $B C$ 上，且 $C D = C E$ .

(1)、   如图1，求证： $∠ C A E = ∠ C B D$ ；

(2)、   如图2， $F$ 是 $B D$ 的中点.求证： $A E ⊥ C F$ ；

(3)、   如图3， $F$ ， $G$ 分别是 $B D$ ， $A E$ 的中点.若 $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $C E = 1$ ，求 $Δ C G F$ 的面积.

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17. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线DE⊥AB于点E。

(1)、求证：△BDE∽△CAD。

(2)、若AB=13，BC=10，求线段DE的长

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18. 已知，△ABC中，∠B=∠C，P是BC边上一点，作∠CPE=∠BPF，分别交边AC，AB于点E，F。

(1)、若∠CPE=∠C（如图1），求证：PE＋PF=AB。

(2)、若∠CPE≠∠C，过点B作∠CBD=∠CPE，交CA（或CA的延长线）于点D．试猜想：线段PE，PF和BD之间的数量关系，并就∠CPE＞∠C情形（如图2）说明理由。

(3)、若点F与A重合（如图3），∠C=27°，且PA=AE。
①求∠CPE的度数；
②设PB=a，PA=b，AB=c，试证明： $b = \frac{a^{2} - c^{2}}{c}$

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19. 如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于H。

(1)、求证：△HBE∽△ABC；

(2)、若CF＝4，BF＝5，求AC和EH的长。

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20. 如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12，0）。

(1)、求直线CD的函数表达式；

(2)、动点P在x轴上从点（－10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t。
①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值。

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21. 在 6×6 的方格纸中，点 A，B，C 都在格点上，按要求画图：

(1)、在图1中找一个格点D，使以点 A，B，C，D 为顶点的四边形是平行四边形．

(2)、在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB 三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

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22. 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

(1)、温故：如图1，在△ $A B C$ 中， $A D$ ⊥ $B C$ 于点 $D$ ，正方形 $P Q M N$ 的边 $Q M$ 在 $B C$ 上，顶点 $P$ ， $N$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 上，若 $B C = 6$ ， $A D = 4$ ，求正方形 $P Q M N$ 的边长．

(2)、操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ $A B C$ ，在 $A B$ 上任取一点 $P^{'}$ ，画正方形 $P^{'} Q^{'} M^{'} N^{'}$ ，使 $Q^{'}$ ， $M^{'}$ 在 $B C$ 边上， $N^{'}$ 在△ $A B C$ 内，连结 $B N^{'}$ 并延长交 $A C$ 于点N，画 $N M$ ⊥ $B C$ 于点 $M$ ， $N P$ ⊥ $N M$ 交 $A B$ 于点 $P$ ， $P Q$ ⊥ $B C$ 于点 $Q$ ，得到四边形P $P Q M N$ ．小波把线段 $B N$ 称为“波利亚线”．
推理：证明图2中的四边形 $P Q M N$ 是正方形．

(3)、拓展：在(2)的条件下，于波利亚线 $B N$ 上截取 $N E = N M$ ，连结 $E Q$ ， $E M$ (如图3)．当 $\tan ∠ N B M = \frac{3}{4}$ 时，猜想∠ $Q E M$ 的度数，并尝试证明．

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23. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

(1)、已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3．请直接写出所有满足条件的AC的长；

(2)、如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC， ∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；

(3)、如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求 $\frac{B D}{A C}$ 的值。

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24. 如图1，直线l： $y = - \frac{3}{4} x + b$ 与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜ $\frac{16}{5}$ ），以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．

(1)、求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；

(2)、如图2，连结CE，当CE=EF时，
①求证：△OCE∽△OEA；
②求点E的坐标；

(3)、当点C在线段OA上运动时，求OE·EF的最大值．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q₁向终点Q₂匀速运动，它们同时到达终点．

(1)、求点B的坐标和OE的长；

(2)、设点Q₂为(m ， n)，当 $\frac{n}{m} = \frac{1}{7}$ tan∠EOF时，求点Q₂的坐标；

(3)、根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD交直线BC于点Q₃ ，当点Q在线段Q₂Q₃上时，设Q₃Q＝s ， AP＝t ，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．

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26. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．

(1)、求证：四边形DCFG是平行四边形；

(2)、当BE＝4，CD＝ $\frac{3}{8}$ AB时，求⊙O的直径长．

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27. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=14 $\sqrt{2}$ 。点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF。

(1)、如图1，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD=2DO．

(2)、已知点G为AF的中点。
①如图2，若AD=BD，CE=2，求DG的长。

②若AD=6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形?若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由。

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28. 如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k=MN：EF.

(1)、若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值。

(2)、若a：b的值为 $\frac{1}{2}$ ，求k的最大值和最小值。

(3)、若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE时，求a：b为的值。

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29. 如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP=FD

(1)、求 $\frac{A F}{F D}$ 的值

(2)、如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证MF=PF；

(3)、如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ=AP，连接BQ，BN.将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上.请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由.

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30. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G。

(1)、求CD的长。

(2)、若点M是线段AD的中点，求 $\frac{E F}{D F}$ 的值。

(3)、请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°?

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31. 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

(1)、温故：如图1，在△ $A B C$ 中， $A D$ ⊥ $B C$ 于点 $D$ ，正方形 $P Q M N$ 的边 $Q M$ 在 $B C$ 上，顶点 $P$ ， $N$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 上，若 BC=a，AD=h，求正方形 $P Q M N$ 的边长(a，h表示)．

(2)、操作：如何能画出这个正方形PQMN呢?
如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作，先在AB上任取一点 $P^{'}$ ，画正方形 $P^{'} Q^{'} M^{'} N^{'}$ ，使 $Q^{'}$ ， $M^{'}$ 在 $B C$ 边上， $N^{'}$ 在△ $A B C$ 内，然后连结 $B N^{'}$ 并延长交 $A C$ 于点N，画 $N M$ ⊥ $B C$ 于点 $M$ ， $N P$ ⊥ $N M$ 交 $A B$ 于点 $P$ ， $P Q$ ⊥ $B C$ 于点 $Q$ ，得到四边形P $P Q M N$ ．

推理：证明图2中的四边形 $P Q M N$ 是正方形．

(3)、拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线截取 $N E = N M$ ，连结 $E Q$ ， $E M$ (如图3)．当∠ $Q E M$ =90°时，求“波利亚线”BN的长（用a、h表示）．

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