浙江省历年（2018-2022年）真题分类汇编专题40 圆的综合题

试卷更新日期：2022-08-14 类型：二轮复习

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一、填空题

1. 如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片．点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD=ED，则∠B=度； $\frac{B C}{A D}$ 的值等于．

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2. 如图，在扇形AOB中，点C，D在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，将 $\overset{⌢}{C D}$ 沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F. 已知∠AOB＝120°，OA＝6，则 $\overset{⌢}{E F}$ 的度数为，折痕CD的长为．

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3. 如图，在扇形AOB中，点C，D在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，将 $\overset{⌢}{C D}$ 沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F。已知∠AOB=120°，OA=6，则 $\overset{⌢}{E F}$ 的度数为；折痕CD的长为。

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二、综合题

4. 如图

如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：

作法如图2.

1.作直径AF.

2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N.

3.连结AM，MN，NA.

(1)、求∠ABC的度数.

(2)、△AMN是正三角形吗？请说明理由.

(3)、从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值.

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5. 如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），

A B = 6 cm

，过点C作

C D ⊥ A B

交半圆于点D，连结AD，过点C作

C E / / A D

交半圆于点E，连结EB.牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系.他根据学习函数的经验，记

A C = x cm

，

E C = y_{1} cm

，

E B = y_{2} cm

.请你一起参与探究函数

y_{1}

、

y_{2}

随自变量x变化的规律.

通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象.

x	…	0.30	0.80	1.60	2.40	3.20	4.00	4.80	5.60	…
$y_{1}$	…	2.01	2.98	3.46	3.33	2.83	2.11	1.27	0.38	…
$y_{2}$	…	5.60	4.95	3.95	2.96	2.06	1.24	0.57	0.10	…

(1)、当

x = 3

时，

y_{1}

＝.

(2)、在图2中画出函数

y_{2}

的图象，并结合图象判断函数值

y_{1}

与

y_{2}

的大小关系.

(3)、由（2）知“AC取某值时，有

E C = E B

”.如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程.

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6. 在扇形 $A O B$ 中，半径 $O A = 6$ ，点P在OA上，连结PB，将 $△ O B P$ 沿PB折叠得到 $△ O^{'} B P$ .

(1)、如图1，若 $∠ O = 75 °$ ，且 $B O^{'}$ 与 $\overset{⌢}{A B}$ 所在的圆相切于点B.
①求 $∠ A P O^{'}$ 的度数.

②求AP的长.

(2)、如图2， $B O^{'}$ 与 $\overset{⌢}{A B}$ 相交于点D，若点D为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，且 $P D // O B$ ，求 $\overset{⌢}{A B}$ 的长.

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7. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M. E是线段CM上的点，连接BE. F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF， BF

(1)、求证：△BEF是直角三角形；

(2)、求证：△BEF∽△BCA；

(3)、当AB=6，BC=m时，在线段CM中存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值.

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8. 在屏幕上有如下内容：
如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的题长线于点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答。

(1)、在屏幕内容中添加条件∠D=30°，求AD的长，请你解答。

(2)、以下是小明、小思的对话：
小明：我加的条件是BD=1，就可以求出AD的长。

小聪：你这样太简单了，我加的是∠A=30°，连结OC，就可证明△ACB与△DCO全等。

参考此对话：在屏幕内容中添加条件，编制一道题（可以添线、添字母），并解答。

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9. 如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E．

(1)、求证：∠BPD=∠BAC．

(2)、连接EB，ED，当tan∠MAN=2，AB=2 $\sqrt{5}$ 时，在点P的整个运动过程中．
①若∠BDE=45°，求PD的长．
②若△BED为等腰三角形，求所有满足条件的BD的长．

(3)、连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN=1，OC//BE时，记△OFP的面积为S₁ ， △CFE的面积为S₂ ，请写出 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值．

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10. 如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在BC上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB-∠BFD=∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE=FG，连结BD，DG．设∠ACB=α．

(1)、用含α的代数式表示∠BFD．

(2)、求证：△BDE≌△FDG．

(3)、如图2，AD为⊙O的直径．
①当 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为2时，求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长．

②当OF：OE=4：11时，求cosα的值．

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11. 如图1， AB 为半圆O的直径，C为 BA 延长线上一点， CD 切半圆于点D， BE⊥CD ，交 CD 延长线于点E，交半圆于点F，已知BC=5，BE=3．点P，Q分别在线段 AB、BE上（不与端点重合），且满足 $\frac{A P}{B Q} = \frac{5}{4}$ ．设BQ=x，CP=y．

(1)、求半圆O的半径．

(2)、求y关于x的函数表达式．

(3)、如图2，过点P作 PR⊥CE 于点R，连结 PQ、RQ．
①当 △PQR 为直角三角形时，求x的值．

②作点F关于 QR 的对称点 F' ，当点 F'落在 BC上时，求 $\frac{C F^{'}}{B F^{'}}$ 的值．

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12. 如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4 $\sqrt{2}$ ，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD.

(1)、如图2，若点A是劣弧 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点.
①求证：▱ABCD是菱形；

②求▱ABCD的面积.

(2)、若点A运动到优弧 $\overset{⌢}{B D}$ 上，且▱ABCD有一边与⊙O相切.
①求AB的长；

②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值.

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13. 如图，在平面直角坐标系中， $⊙ M$ 经过原点 $O$ ，分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 8)$ ，连结 $A B$ .直线 $C M$ 分别交 $⊙ M$ 于点 $D$ ， $E$ （点 $D$ 在左侧），交 $x$ 轴于点 $C (17 ， 0)$ ，连结 $A E$ .

(1)、求 $⊙ M$ 的半径和直线 $C M$ 的函数表达式.

(2)、求点 $D$ ， $E$ 的坐标.

(3)、点 $P$ 在线段 $A C$ 上，连结 $P E$ .当 $∠ A E P$ 与 $△ O B D$ 的一个内角相等时，求所有满足条件的 $O P$ 的长.

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14. 如图1，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $B D$ 为直径， $\overset{⌢}{A D}$ 上存在点E，满足 $\overset{⌢}{A E} = \overset{⌢}{C D}$ ，连结 $B E$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点F， $B E$ 与 $A D$ 交于点G.

(1)、若 $∠ D B C = α$ ，请用含 $α$ 的代数式表列 $∠ A G B$ .

(2)、如图2，连结 $C E ， C E = B G$ .求证； $E F = D G$ .

(3)、如图3，在（2）的条件下，连结 $C G$ ， $A G = 2$ .
①若 $\tan ∠ A D B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ F G D$ 的周长.

②求 $C G$ 的最小值.

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15. 如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF.

(1)、设⊙O的半径为1，若∠BAC=30°，求线段EF的长。

(2)、连接BF，DF
①求证：PE=PF

②若DF=EF，求∠BAC的度数。

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16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G。

(1)、求CD的长。

(2)、若点M是线段AD的中点，求 $\frac{E F}{D F}$ 的值。

(3)、请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°?

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17. 如图1， $⊙$ O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F.

(1)、求证：BD=BE.

(2)、当AF：EF=3：2，AC=6时，求AE的长。

(3)、设 $\frac{A F}{E F}$ =x，tan∠DAE=y.
①求y关于x的函数表达式；

②如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值

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18. 如图，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，连接OA.

(1)、若∠BAC=60°，
①求证：OD= $\frac{1}{2}$ OA.
②当OA=1时，求△ABC面积的最大值。

(2)、点E在线段OA上，（OE=OD.连接DE，设∠ABC=m∠OED.∠ACB=n∠OED（m，n是正数）.若∠ABC<∠ACB，求证：m-n+2=0.

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19. 已知在平面直角坐标系xOy中，直线l₁分别交x轴和y轴于点A(-3，0)，B(0，3).

(1)、如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；

(2)、如图2，已知直线l₂： y＝3x-3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l₂上的一个动点，以Q为圆心， $2 \sqrt{2}$ 为半径画圆.
①当点Q与点C重合时，求证：直线l₁与⊙Q相切；

②设⊙Q与直线l₁相交于M，N两点，连结QM，QN. 问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

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