浙江省历年（2018-2022年）真题分类汇编专题33 菱形的性质与判定

试卷更新日期：2022-08-14 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 下列命题正确的是（）

A、对角线相等的四边形是平行四边形 B、对角线相等的四边形是矩形 C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

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2. 如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝ $\frac{1}{4}$ ，则FG的长是（）

A、3 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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3. 如图.将菱形ABCD绕点A逆时针旋转 $∠ α$ 得到菱形 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ ， $∠ B = ∠ β$ .当AC平分 $∠ B^{'} A C^{'}$ 时， $∠ α$ 与 $∠ β$ 满足的数量关系是（）

A、 $∠ α = 2 ∠ β$ B、 $2 ∠ α = 3 ∠ β$ C、 $4 ∠ α + ∠ β = 180 °$ D、 $3 ∠ α + 2 ∠ β = 180 °$

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4. 如图，菱形ABCD中， $∠ B = 60 °$ ，点P从点B出发，沿折线 $B C - C D$ 方向移动，移动到点D停止.在 $△ A B P$ 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）

A、直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形 B、直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形 C、直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 D、等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

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5. 数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形.如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形.下面说法正确的是（）

A、用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形 B、用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形 C、用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形 D、用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形

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6. 将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、矩形 D、菱形

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7. 如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）

A、AB平分∠CAD B、CD平分∠ACB C、AB⊥CD D、AB=CD

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8. 如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D。若⊙O的半径为1，则BD的长为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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9. 四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变，如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′，若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）

A、平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B、平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C、平行四边形→正方形→菱形→矩形 D、平行四边形→菱形→正方形→矩形

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二、填空题

12. 如图，在菱形ABCD中， AB=1，∠BAD=60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形 AENH 和菱形 CGMF ，使点E，F，G，H分别在边 AB、BC、CD、DA 上，点M，N在对角线 AC 上．若 AE=3BE，则 MN 的长为．

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13. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为 $6 cm$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，将该菱形沿AC方向平移 $2 \sqrt{3} cm$ 得到四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ， $A^{'} D^{'}$ 交CD于点E，则点E到AC的距离为 $cm$ .

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14. 如图， $▱$ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：，使 $▱$ ABCD是菱形。

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15. 如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= $\frac{1}{3}$ ，AC=6，则BD的长是．

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16. 如图，直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为．

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17. 如图，在菱形 ABCD中，∠A=60° ，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M 处，折痕分别与边 AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．

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18. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为。

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三、作图题

19. 图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．

(1)、在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．(画出一个即可)

(2)、在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．

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20. 如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A ， B在格点上，每一个小正方形的边长为1．

(1)、以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．

(2)、计算你所画菱形的面积．

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四、解答题

21. 小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD.求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．

小惠：

证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，

∴AC垂直平分BD．

∴AB＝AD，CB＝CD，

∴四边形ABCD是菱形．

小洁：

这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．

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22. 小惠自编一题：“如图在四边形ABCD中对角线AC、BD；交于点O，AC⊥BD，OB=OD。求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流。

小惠：

证明：∵ AC⊥BD，OB= OD，

∴AC垂直平分BD

∴AB= AD，CB=CD

∴四边形ABCD是菱形

小洁：

这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明。

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．

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23. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF.

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五、综合题

24. 如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上.

(1)、求证：BG=DE；

(2)、若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长。

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25. 如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF.

(1)、求证：四边形BEFD是平行四边形；

(2)、若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长.

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26. 小敏思考解决如下问题：
原题：如图1，点 $P$ ， $Q$ 分别在菱形 $A B C D$ 的边 $B C$ ， $C D$ 上， $∠ P A Q = ∠ B$ ，求证： $A P = A Q$ .

(1)、小敏进行探索，若将点 $P$ ， $Q$ 的位置特殊化：把 $∠ P A Q$ 绕点 $A$ 旋转得到 $∠ E A F$ ，使 $A E ⊥ B C$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $B C$ ， $C D$ 上，如图2，此时她证明了 $A E = A F$ .请你证明.

(2)、受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作 $A E ⊥ B C$ ， $A F ⊥ C D$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ .请你继续完成原题的证明.

(3)、如果在原题中添加条件： $A B = 4$ ， $∠ B = 60^{\circ}$ ，如图1.请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）.

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27. 小敏思考解决如下问题：
原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ=∠B，求证AP=AQ。

(1)、小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2，此时她证明了AE=AF。请你证明。

(2)、受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F。请你继续完成原题的证明。

(3)、如果在原题中添加条件：AB=4，∠B=60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案。

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28. 如图，在菱形ABCD中，AB=10. $\sin B = \frac{3}{5}$ ，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.

(1)、如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.

(2)、若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.

(3)、已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)？

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29. 如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4 $\sqrt{2}$ ，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD.

(1)、如图2，若点A是劣弧 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点.
①求证：▱ABCD是菱形；

②求▱ABCD的面积.

(2)、若点A运动到优弧 $\overset{⌢}{B D}$ 上，且▱ABCD有一边与⊙O相切.
①求AB的长；

②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值.

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30. 如图

(1)、【基础巩固】
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B.求证： $A C^{2} = A D \cdot A B$ .

(2)、【尝试应用】
如图2，在 $▱ A B C D$ 中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A.若BF=4，BE=3，求AD的长.

(3)、【拓展提高】
如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC=2EF， $∠ E D F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，AE=2，DF=5，求菱形ABCD的边长.

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31. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB=8.

(1)、求证：四边形AEFD为菱形.

(2)、求四边形AEFD的面积.

(3)、若点P在x轴正半轴上(异于点D)，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P， Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由.

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32. 如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 与 $y = \frac{n}{x}$ （x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P ．已知点B的横坐标为4．

(1)、当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

(2)、四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m ， n之间的数量关系；若不能，试说明理由．

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