浙江省历年（2018-2022年）真题分类汇编专题27 三角形的全等及其判定（2）

试卷更新日期：2022-08-14 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，AC与BD相交于点O，OA=OD，OB=OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）

A、SSS B、SAS C、AAS D、HL

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2. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点 $E ， F ， G ， H ， M ， N$ 都在同一个圆上.记该圆面积为 $S_{1}$ ， $△ A B C$ 面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值是（）

A、 $\frac{5 π}{2}$ B、 $3 π$ C、 $5 π$ D、 $\frac{11 π}{2}$

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3. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM=4，BN=2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN=45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、6 C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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4. △BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）

A、△ABC的周长 B、△AFH的周长 C、四边形FBGH的周长 D、四边形ADEC的周长

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5. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH . 连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则 $\frac{S_{正方形 A B C D}}{S_{正方形 E F G H}}$ 的值是（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $2 + \sqrt{2}$ C、 $5 - \sqrt{2}$ D、 $\frac{15}{4}$

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6. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $\cos B = \frac{1}{4}$ ，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使 $∠ A D E = ∠ B$ ，连结CE，则 $\frac{C E}{A D}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ D、2

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二、填空题

7. 图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且 $O A = O B$ ，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得 $F A = 54 cm$ ， $E B = 45 cm$ ， $A B = 48 cm$ .

(1)、椅面CE的长度为cm.

(2)、如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角 $∠ C H D$ 的度数达到最小值 $30 °$ 时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）.（参考数据： $\sin 15 ° \approx 0.26$ ， $\cos 15 ° \approx 0.97$ ， $\tan 15 ° \approx 0.27$ ）

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8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标 $(\frac{5}{2} ， 2)$ . 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （常数 $k > 0$ ， $x > 0$ ）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是.

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9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E在边 $A B$ 上， $△ B E C$ 与 $△ F E C$ 关于直线 $E C$ 对称，点B的对称点F在边 $A D$ 上，G为 $C D$ 中点，连结 $B G$ 分别与 $C E ， C F$ 交于M，N两点，若 $B M = B E$ ， $M G = 1$ ，则 $B N$ 的长为， $\sin ∠ A F E$ 的值为.

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10. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y= $\frac{1}{x}$ ，则图象经过点D的反比例函数的解析式是．

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三、作图题

11. 如图，在 $6 \times 6$ 的网格中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上.

(1)、在图1中画出 $△ A C D$ ，使 $△ A C D$ 与 $△ A C B$ 全等，顶点D在格点上.

(2)、在图2中过点B画出平分 $△ A B C$ 面积的直线l.

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四、解答题

12. 小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD ．

[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．

[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M ．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．

[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P ， N（如图3），发现线段DN ， MN ， PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

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五、综合题

13. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10 $\sqrt{2}$ .

(1)、求证：△ABC≌△ADC；

(2)、当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数.

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14. 如图

(1)、（证明体验）
如图1， $A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线， $∠ A D C = 60 °$ ，点E在 $A B$ 上， $A E = A C$ .求证： $D E$ 平分 $∠ A D B$ .

(2)、（思考探究）
如图2，在（1）的条件下，F为 $A B$ 上一点，连结 $F C$ 交 $A D$ 于点G.若 $F B = F C$ ， $D G = 2$ ， $C D = 3$ ，求 $B D$ 的长.

(3)、（拓展延伸）
如图3，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 平分 $∠ B A D ， ∠ B C A = 2 ∠ D C A$ ，点E在 $A C$ 上， $∠ E D C = ∠ A B C$ .若 $B C = 5 ， C D = 2 \sqrt{5} ， A D = 2 A E$ ，求 $A C$ 的长.

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15. 图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形 ABCD 各边上分别取点 B_1，C₁ ， D₁ ， A₁ ，使 AB₁=BC₁=CD₁=DA₁= $\frac{4}{5}$ AB，依次连接它们，得到四边形A₁B₁C₁D₁ ；再在四边形A₁B₁C₁D₁各边上分别取点 B₂ ， C₂ ， D₂ ， A₂ ，使A₁B₂=B₁C₂=C₁D₂=D₁A₂= $\frac{4}{5}$ A₁B₁ ，依次连接它们，得到四边形 A₂B₂C₂D₂ ；…如此继续下去，得到四条螺旋折线．

(1)、求证：四边形A₁B₁C₁D₁ 是正方形；

(2)、求 $\frac{A_{1} B_{1}}{A B}$ 的值；

(3)、请研究螺旋折线BB₁B₂B₃ …中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．

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16. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重台，点A落在点P处，折痕为EF，

(1)、求证：△PDE≌△CDF；

(2)、若CD=4cm，EF=5cm，求BC的长.

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17. 如图1，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $B D$ 为直径， $\overset{⌢}{A D}$ 上存在点E，满足 $\overset{⌢}{A E} = \overset{⌢}{C D}$ ，连结 $B E$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点F， $B E$ 与 $A D$ 交于点G.

(1)、若 $∠ D B C = α$ ，请用含 $α$ 的代数式表列 $∠ A G B$ .

(2)、如图2，连结 $C E ， C E = B G$ .求证； $E F = D G$ .

(3)、如图3，在（2）的条件下，连结 $C G$ ， $A G = 2$ .
①若 $\tan ∠ A D B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ F G D$ 的周长.

②求 $C G$ 的最小值.

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18. 已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．

(1)、如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S₁ ，正方形BGFC的面积为S₂ ．
①若S₁=9，S₂=16，求S的值；

②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S₂-S₁=2S．

(2)、如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S₁ ，等边三角形CBE的面积为S₂ ．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S₂-S₁与S之间的等量关系，并说明理由．

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19. 在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE=2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．

(1)、如图1．若AB=4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积

(2)、如图2．已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．
①求证：EK=2EH；

②设∠AEK=α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S₁、S₂ ．

求证： $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ =4sin²α-1．

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