浙江省历年（2018-2022年）真题分类汇编专题27 三角形的全等及其判定（1）

试卷更新日期：2022-08-14 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，等边三角形 $A B C$ 边长是定值，点 $O$ 是它的外心，过点 $O$ 任意作一条直线分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $D$ ， $E$ ，将 $Δ B D E$ 沿直线 $D E$ 折叠，得到 $Δ B' D E$ ，若 $B' D$ ， $B' E$ 分别交 $A C$ 于点 $F$ ， $G$ ，连接 $O F$ ， $O G$ ，则下列判断错误的是（）

A、 $Δ A D F ≅ Δ C G E$ B、 $Δ B' F G$ 的周长是一个定值 C、四边形 $F O E C$ 的面积是一个定值 D、四边形 $O G B' F$ 的面积是一个定值

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2. 如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块B型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为（）

A、 $\sqrt{2}$ ：1 B、3：2 C、 $\sqrt{3}$ ：1 D、 $\sqrt{2}$ ：2

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二、填空题

3. 等腰三角形 $A B C$ 中，顶角 $A$ 为 $40^{\circ}$ ，点 $P$ 在以 $A$ 为圆心， $B C$ 长为半径的圆上，且 $B P = B A$ ，则 $∠ P B C$ 的度数为．

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4. 等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为。

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5. 如图，△ABC的两条高AD ， BE相交于点F ，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．

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6. 如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）

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7. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b. 依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD. 则正方形ABCD的面积为. （用含a，b的代数式表示）

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8. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $C D$ ， $A D$ 上， $C E = D F$ ， $B E$ ， $C F$ 相交于点 $G$ .若图中阴影部分的面积与正方形 $A B C D$ 的面积之比为 $2 ： 3$ ，则 $Δ B C G$ 的周长为．

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9. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为。

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10. 图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为分米．

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三、作图题

11. 如图，在4×4的方格子中，△ABC的三个顶点都在格点上，

(1)、在图1中画出线段CD，使CD⊥CB，其中D是格点，

(2)、在图2中画出平行四边形ABEC，其中E是格点.

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四、解答题

12. 如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°。
求证：矩形ABCD是正方形

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13. 如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG，于点E，BF⊥AG于点F，设 $\frac{B G}{B C} = k$ 。

(1)、求证：AE=BF；

(2)、连接BE，DF，设∠EDF= $α$ ，∠EBF= $β$ 求证： $\tan α = k \tan β$

(3)、设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S₁和S₂ ，求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的最大值．

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14. 已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF。
求证：△ABC是等边三角形。

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15. 如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F。
求证：AE＝CF。

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16. 如图，在矩形 ABCD中，点 E，F 在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．

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五、综合题

17. 已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D，E分别为AC，BC边上的点（不包括端点），且 $\frac{D C}{B E} = \frac{A C}{B C}$ =m，连结AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM交AB于点F．

(1)、如图1，过点E作EH⊥AB于点H，连结DH．
①求证：四边形DHEC是平行四边形；
②若m= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求证：AE=DF；

(2)、如图2，若m= $\frac{3}{5}$ ，求 $\frac{D F}{A E}$ 的值．

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18. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在 $A C$ ， $B C$ 上，且 $C D = C E$ .

(1)、   如图1，求证： $∠ C A E = ∠ C B D$ ；

(2)、   如图2， $F$ 是 $B D$ 的中点.求证： $A E ⊥ C F$ ；

(3)、   如图3， $F$ ， $G$ 分别是 $B D$ ， $A E$ 的中点.若 $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $C E = 1$ ，求 $Δ C G F$ 的面积.

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19. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE．

(1)、求证：△ACD≌△BCE；

(2)、当AD=BF时，求∠BEF的度数．

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20. 小敏思考解决如下问题：
原题：如图1，点 $P$ ， $Q$ 分别在菱形 $A B C D$ 的边 $B C$ ， $C D$ 上， $∠ P A Q = ∠ B$ ，求证： $A P = A Q$ .

(1)、小敏进行探索，若将点 $P$ ， $Q$ 的位置特殊化：把 $∠ P A Q$ 绕点 $A$ 旋转得到 $∠ E A F$ ，使 $A E ⊥ B C$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $B C$ ， $C D$ 上，如图2，此时她证明了 $A E = A F$ .请你证明.

(2)、受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作 $A E ⊥ B C$ ， $A F ⊥ C D$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ .请你继续完成原题的证明.

(3)、如果在原题中添加条件： $A B = 4$ ， $∠ B = 60^{\circ}$ ，如图1.请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）.

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21. 如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD//EC，∠AED=∠B．

(1)、求证：△AED≌△EBC．

(2)、当AB=6时，求CD的长．

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22. 如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在上．

(1)、求证：AE=AB．

(2)、若∠CAB=90°，cos∠ADB= $\frac{1}{3}$ ，BE=2，求BC的长．

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23. 小敏思考解决如下问题：
原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ=∠B，求证AP=AQ。

(1)、小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2，此时她证明了AE=AF。请你证明。

(2)、受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F。请你继续完成原题的证明。

(3)、如果在原题中添加条件：AB=4，∠B=60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案。

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24. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．

(1)、求证：△BDE≌△CDF；

(2)、当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．

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25. 如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10.

(1)、在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长。

②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长。

(2)、若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D₁转到其内的点D₂处，连结D₁D₂ ，如图2.此时∠AD₂C=135°，CD₂=60，求BD₂的长.

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26. 如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上.

(1)、求证：BG=DE；

(2)、若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长。

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27. 如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O.

(1)、求证：△ABD≌△ACE；

(2)、判断△BOC的形状，并说明理由.

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28. 如图，在△ABC和△DCE中，AC=DE，∠B=∠DCE=90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE。

(1)、求证：△ABC≌△DCE

(2)、连结AE，当BC=5，AC=12时，求AE的长。

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29. 如图，点E是 $▱$ ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F。

(1)、若AD的长为2，求CF的长。

(2)、若∠BAF=90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数。

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30. 在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合(如图1) ，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4cm，并进行如下研究活动。

(1)、活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD(如图2)，当点F与点C重合时停止平移。
【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由。

【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形AB DE为矩形(如图3)。求AF的长。

(2)、活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度(0≤α≤90)，连结OB，OE(如图4)。
【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由。

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31. 如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k=MN：EF.

(1)、若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值。

(2)、若a：b的值为 $\frac{1}{2}$ ，求k的最大值和最小值。

(3)、若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE时，求a：b为的值。

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32. 我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形.例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形

(1)、已知凸五边形ABCDE的各条边都相等
①如图1，若AC=AD=BE=BD=CE，求证：五边形ABCDE是正五边形

②2如图2，若AC=BE=CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由

(2)、判断下列命题的真假，（在括号内填写“真”或“假”），如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等
①若AC=CE=EA，则六边形ABCDEF是正六边形（）

②若AD=BE=CF，则六边形ABCDEF是正六边形（）

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33. 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

(1)、温故：如图1，在△ $A B C$ 中， $A D$ ⊥ $B C$ 于点 $D$ ，正方形 $P Q M N$ 的边 $Q M$ 在 $B C$ 上，顶点 $P$ ， $N$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 上，若 BC=a，AD=h，求正方形 $P Q M N$ 的边长(a，h表示)．

(2)、操作：如何能画出这个正方形PQMN呢?
如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作，先在AB上任取一点 $P^{'}$ ，画正方形 $P^{'} Q^{'} M^{'} N^{'}$ ，使 $Q^{'}$ ， $M^{'}$ 在 $B C$ 边上， $N^{'}$ 在△ $A B C$ 内，然后连结 $B N^{'}$ 并延长交 $A C$ 于点N，画 $N M$ ⊥ $B C$ 于点 $M$ ， $N P$ ⊥ $N M$ 交 $A B$ 于点 $P$ ， $P Q$ ⊥ $B C$ 于点 $Q$ ，得到四边形P $P Q M N$ ．

推理：证明图2中的四边形 $P Q M N$ 是正方形．

(3)、拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线截取 $N E = N M$ ，连结 $E Q$ ， $E M$ (如图3)．当∠ $Q E M$ =90°时，求“波利亚线”BN的长（用a、h表示）．

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34. 【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E。作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G。

(1)、判断△AFG的形状并说明理由。

(2)、求证：BF=2OG。

(3)、【迁移应用】
记△DGO的面积为S₁ ， △DBF的面积为S₂ ，当 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{3}$ 时，求 $\frac{A D}{A B}$ 的值。

(4)、【拓展延伸】
若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF。当△BEF的面积为矩形ABCD面积的 $\frac{1}{10}$ 时，请直接写出tan∠BAE的值。

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