浙江省历年（2018-2022年）真题分类汇编专题23 等腰三角形

试卷更新日期：2022-08-14 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）

A、20° B、35° C、40° D、70°

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2. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（）

A、8 B、16 C、24 D、32

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3. 如图，点 D在 △ABC的边BC上，点 P在射线 AD上（不与点 A，D重合），连接PB， PC．下列命题中，假命题是（）

A、若 $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ，则 $P B = P C$ B、若 $P B = P C$ ， $A D ⊥ B C$ ，则 $A B = A C$ C、若 $A B = A C$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，则 $P B = P C$ D、若 $P B = P C$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，则 $A B = A C$

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4. 如图，已知在锐角△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC=45°，BC=6，则△EBC的面积是（）

A、12 B、9 C、6 D、 $3 \sqrt{2}$

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5. 将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、矩形 D、菱形

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6. 如图，在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作 $▱$ BCDE，则∠E的度数为（）

A、40° B、50° C、60° D、70°

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7. 如图，等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0°<θ<90°)，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（）

A、随着θ的增大而增大 B、随着θ的增大而减小 C、不变 D、随着θ的增大，先增大后减小

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8. 如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（）

A、AE=EF B、AB=2DE C、△ADF和△ADE的面积相等 D、△ADE和△FDE的面积相等

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9. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 3$ .以点 $C$ 为圆心，适当长为半径画弧，交 $B C$ 于点 $P$ ，交 $C D$ 于点 $Q$ ，再分别以点 $P$ ， $Q$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} P Q$ 的长为半径画弧，两弧相交于点 $N$ ，射线 $C N$ 交 $B A$ 的延长线于点 $E$ ，则 $A E$ 的长是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{3}{2}$

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二、填空题

10. 如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是 $\overset{⌢}{A D}$ 所对的圆周角，则∠APD的度数是

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11. 如图，在△ABC 中， ∠ABC=40°， ∠BAC=80°，以点 A为圆心， AC 长为半径作弧，交射线 BA 于点 D，连结 CD ，则 ∠BCD 的度数是．

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12. 如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则 $∠ A F B$ 的度数为.

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13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC.分别以点A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF.以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH.若BC＝3，则△AFH的周长为 .

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B = 70 °$ ，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则 $∠ B A P$ 的度数是.

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15. 如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点. 分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是.

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16. 将两条邻边长分别为 $\sqrt{2}$ ，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片)，各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的(填序号)。
① $\sqrt{2}$ ，②1，③ $\sqrt{2}$ -1，④ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，⑤ $\sqrt{3}$

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17. 等腰三角形 $A B C$ 中，顶角 $A$ 为 $40^{\circ}$ ，点 $P$ 在以 $A$ 为圆心， $B C$ 长为半径的圆上，且 $B P = B A$ ，则 $∠ P B C$ 的度数为．

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18. 等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为。

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三、作图题

19. 图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．

(1)、在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．(画出一个即可)

(2)、在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．

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四、解答题

20. 在①AD=AE，②∠ABE=∠ACD，③FB=FC 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答。
问题：如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连结BE，CD，BE与CD相交于点F。若_▲_，求证：BE=CD 。

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分。

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五、综合题

21. 如图， BD 是 △ABC的角平分线， DE∥BC ，交 AB 于点E．

(1)、求证： $∠ E B D = ∠ E D B$ ．

(2)、当AB=AC时，请判断 CD 与ED的大小关系，并说明理由．

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22. 如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O.

(1)、求证：△ABD≌△ACE；

(2)、判断△BOC的形状，并说明理由.

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23. 问题：如图，在△ABD中，BA=BD，在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA=EC。若∠BAE=90°，∠B=45°，求∠DAC的度数。
答案：∠DAC=45°。

思考：

(1)、如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由。

(2)、如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数。

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24. 数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形 $A B C$ 中， $∠ A = 110^{\circ}$ ，求 $∠ B$ 的度数.（答案： $35^{\circ}$ ）
例2 等腰三角形 $A B C$ 中， $∠ A = 40^{\circ}$ ，求 $∠ B$ 的度数.（答案： $40^{\circ}$ 或 $70^{\circ}$ 或 $100^{\circ}$ ）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式等腰三角形 $A B C$ 中， $∠ A = 80^{\circ}$ ，求 $∠ B$ 的度数.

(1)、请你解答以上的变式题.

(2)、解（1）后，小敏发现， $∠ A$ 的度数不同，得到 $∠ B$ 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形 $A B C$ 中，设 $∠ A = x^{\circ}$ ，当 $∠ B$ 有三个不同的度数时，请你探索 $x$ 的取值范围.

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25. 数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数。（答案：35°）
例2：等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数。（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数

(1)、请你解答以上的表式题。

(2)、解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同。如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x⁰ ，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围。

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26.

(1)、【基础巩固】
如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．

(2)、【尝试应用】
如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求 $\frac{D E}{B C}$ 的值．

(3)、【拓展提高】
如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．

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